极大似然估计

设总体分布为$f(x;\theta_1,\cdots,\theta_k)$，$X_1,\cdots,X_n$为自这个总体中抽出的样本，则样本$(X_1,\cdots,X_n)$的分布（即其概率密度函数或概率函数）为

$$f(x_1;\theta_1,\cdots,\theta_k)f(x_2;\theta_1,\cdots,\theta_k)\cdots f(x_n;\theta_1,\cdots,\theta_k)$$
记为$L(x_1,\cdots,x_n;\theta_1,\cdots,\theta_k)$。

固定$\theta_1,\cdots,\theta_k$，而看做$x_1,\cdots,x_n$的函数时，L是一个概率密度函数或者概率函数。可以这样理解：若$L(Y_1,\cdots,Y_n;\theta_1,\cdots,\theta_k)\gt L(X_1,\cdots,X_n;\theta_1,\cdots,\theta_k)$，则在观察时出现$(Y_1,\cdots,Y_n)$这个点的可能性要比出现$X_1,\cdots,X_n$这个点的可能性大。把这件事反过来说，可以这样想：当已观察到$X_1,\cdots,X_n$时，若$L(X_1,\cdots,X_n;\theta_1',\cdots,\theta_k')\gt L(X_1,\cdots,X_n;\theta_1'',\cdots,\theta_k'')$，则被估计的参数$(\theta_1,\cdots,\theta_k)$是$(\theta_1',\cdots,\theta_k')$的可能性要比它是$(\theta_1'',\cdots,\theta_k'')$的可能性大。

当$(X_1,\cdots,X_n)$固定而把L看做$(\theta_1,\cdots,\theta_k)$的函数时，它成为“似然函数”。这个名称的意义，可根据上述分析得到理解：这个函数对不同的$(\theta_1,\cdots,\theta_k)$的取值，反映了在观察结果$(X_1,\cdots,X_n)$已知的条件下，$(\theta_1,\cdots,\theta_k)$的各种值的“似然程度”。注意，这里有些像贝叶斯公式中的推理：把观察值$(X_1,\cdots,X_n)$看成结果，而把参数$(\theta_1,\cdots,\theta_k)$看成是导致这个结果的原因。现已有了结果，要反过来推算各种原因的概率。这里，参数$(\theta_1,\cdots,\theta_k)$有一定的值（虽然未知），并非事件或随机变量，无概率可言，于是就改用“似然”这个词。

由上述分析就自然地导致如下的方法：应该用似然程度最大的那个点$(\theta_1^*,\cdots,\theta_k^*)$，即满足条件

$$L(X_1,\cdots,X_n;\theta_1^*,\cdots,\theta_k^*)=\max_{\theta_1,\cdots,\theta_k}L(X_1,\cdots,X_n;\theta_1,\cdots,\theta_k)$$
的$(\theta_1^*,\cdots,\theta_k^*)$去做$(\theta_1,\cdots,\theta_k)$的估计值，因为在已得的样本$X_1,\cdots,X_n$的条件下，这个看起来最像是真参数值。这个估计$(\theta_1^*,\cdots,\theta_k^*)$就叫做$(\theta_1,\cdots,\theta_k)$的“极大似然估计”。如果要估计的是$g(\theta_1,\cdots,\theta_k)$，则$g(\theta_1^*,\cdots,\theta_k^*)$是它的极大似然估计。

因为连乘不好计算，而且取对数并不改变取最大的目的，所以通常会对似然函数取对数。

$$\ln{L}=\sum_{i=1}^n\ln{f(X_i;\theta_1,\cdots,\theta_k)}$$
故在f对$\theta_1,\cdots,\theta_k$存在连续的偏导数时，可建立方程组（称为似然方程组）：
$$\frac{\partial{\ln(L)}}{\partial{\theta_i}}=0\quad(i=1,\cdots,k)$$
如果这个方程组有唯一解，又能验证它是一个极大值点，则它必是使L达到最大的点，即极大似然估计。

例子

设$X_1,\cdots,X_n$是从正态总体分布$N(\mu,\delta^2)$中抽出样本，则似然函数为：

$$L=\prod_{i=1}^n[(\sqrt{2\pi\delta^2})^{-1}\exp(-\frac{1}{2\delta^2}(X_i-\mu)^2)]$$
故
$$\ln{L}=-\frac{n}{2}\ln{2\pi}-\frac{n}{2}\ln(\delta^2)-\frac{1}{2\delta^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2$$
求解方程组（把$\delta^2$作为一个整体看）：
$$\frac{\partial\ln{L}}{\partial\mu}=\frac1{\delta^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)=0$$
$$\frac{\partial\ln{L}}{\partial(\delta^2)}=-\frac{n}{2\delta^2}+\frac1{2\delta^4}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2=0$$
由第一式得出$\mu$的解为
$$\mu^*=\sum_{i=1}^n X_i/n=\overline X$$
以此代入第二式中，得到$\delta^2$的解为
$$\delta^{*2}=\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2/n=m_2$$

我们看到：$\mu$与$\delta^2$的极大似然估计$\mu^*$和$\delta^{*2}$与其矩估计完全一样。在本例中，容易肯定$(\mu^*,\delta^{*2})$确是使似然函数L达到最大值的点。

矩估计与极大似然估计在多数情况下一致。也有这样的情况，用两个估计方法都行不通或不易实行。

统计推断问题的解，往往可以从许多看来都合理的途径去考虑，并无一成不变的方法，不同解固然有优劣之分，但这种优劣也是相对于一定的准则而言，并无绝对的价值。下述情况也并不罕见：估计甲在某一准则下优于乙，而乙又在另一准则下优于甲。

极大似然估计法的思想，始于高斯的误差理论，到1912年由Fisher在一篇论文中把它作为一个一般的估计方法提出来。自20世纪20年代以来，Fisher自己及许多统计学家对这一估计方法进行了大量的研究。总的结论是：在各种估计方法中，相对来说它一般更为优良，但在个别情况下也给出很不理想的结果。与矩估计方法不同，极大似然估计法要求分布有参数的形式。比如说，要对总体分布毫无所知而要估计其均值、方差，极大似然法就无能为力。

参考书目
《概率论与数理统计》——陈希孺