【学习笔记】牛顿迭代法求平方根倒数

【学习笔记】牛顿迭代法求平方根倒数

简介

介绍使用牛顿迭代法求平方根倒数$\frac{1}{\sqrt{x}}$的C语言实现和公式的推导。

代码

float InvSqrt(float num)
{
        float x = 1/num;
        float xhalf = 0.5f * num;
        float error = 1e-5;
    
        while (fabs(1.0f - num * x * x) >= error)
        {
            x = x*(1.5f-(xhalf*x*x));
        }

        return x;
}

代码很简单，就是使用牛顿迭代法计算，然后判断是否达到想要的精度，达到精度后退出。

这里精度设置是0.00001，可以根据自己实际情况调整。

传进来的值num必须大于0。

可以加入一个判断防止传入的值小于等于0.

float InvSqrt(float num)
{
    if (num > 0)
    {
        float x = 1/num;
        float xhalf = 0.5f * num;
        float error = 1e-5;
    
        while (fabs(1.0f - num * x * x) >= error)
        {
            x = x*(1.5f-(xhalf*x*x));
        }

        return x;
    }
    else
    {
        return -1;
    }
}

公式推导

这里说明代码x = x*(1.5f-(xhalf*x*x));是如何得到的。

牛顿迭代法公式如下。

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$

我们计算平方根倒数的公式：

$y=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$

所以

$\frac{1}{y^2}=x$

构建以y为自变量的函数方程为

$f(y)=\frac{1}{y^2}-x=0$

​ $=y^{-2}-x=0$

$f^{\prime }(y)=-2y^{-3}=0$

将$f(y)$和$f^{\prime }(y)$带入

$y-\frac{f(y)}{f^{\prime }(y)}=y-\frac{y^{-2}-x}{-2y^{-3}}$

​ $=y+\frac{y-x{y}^3}{2}$

​ $=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}x{y}^3$

所以

$y_{n+1}=\frac{3}{2}{y}_n-\frac{1}{2}x{y_n}^3$ = $1.5y_n-0.5x{y_n}^3$

上面代码x = x*(1.5f-(xhalf*x*x));就是这样得到。

实际计算，设$x=2$，$y_1=\frac{1}{2}=0.5$

$y_2=1.5\times 0.5-0.5\times 2\times 0.5^3=0.625000$

$y_3=1.5\times 0.625-0.5\times 2\times 0.625^3=0.693359$

$y_4=1.5\times 0.693359-0.5\times 2\times 0.693359^3=0.706708$

$y_5=1.5\times 0.706708-0.5\times 2\times 0.706708^3=0.707106$

这里经过4次迭代，就得到了$\frac{1}{\sqrt{2}}$的值。

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u012028275/article/details/113791370