e^{ia} + e^{ib} 等于什么？

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三角函数------和差化积公式及证明

正文

首先，我们使用欧拉公式对两项进行展开：
$$\begin{array}{r}{e}^{ia}=\cos a+i\sin a\\ e^{ib}=\cos b+i\sin b\end{array}$$
然后将（1）和（2）式中的展开式相加：
$$\cos a+i\sin a+\cos b+i\sin b=\cos a+\cos b+i\left(\sin a+\sin b\right)\text{\hspace{1em}(3)}$$
根据和差化积公式对（3）式中的两部分进行化简可得：
$$\begin{array}{rl}\cos a+\cos b+i\left(\sin a+\sin b\right)& =2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}+2i\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ & =2\cos \frac{a-b}{2}\left[\cos \frac{a+b}{2}+i\sin \frac{a+b}{2}\right]\\ & =2\cos \frac{a-b}{2}{e}^{i\frac{a+b}{2}}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
如果此时我们令：
$$\begin{array}{rl}\phi & =\frac{a-b}{2}\\ \Delta \phi & =\frac{a+b}{2}\end{array}\text{\hspace{1em}(5)(6)}$$
将（5）式与（6）式带入（4）式中化简可得：
$$2\cos \frac{a-b}{2}{e}^{i\frac{a+b}{2}}=2\cos \phi e^{i\Delta \phi }$$

至此，我们完成了证明。

同理易证：
$$e^{ia}-e^{ib}=2i\sin \Delta \phi e^{i\phi }$$

事实上，这类问题还有类似的形式，比如：
$$\begin{array}{rl}{e}^{-ia}+e^{-ib}& =2\cos \Delta \phi e^{-i\phi }\\ e^{-ia}-e^{-ib}& =-2i\sin \Delta \phi e^{-i\phi }\end{array}$$

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