HDU 3208 Integer’s Power 指数和、容斥

最新推荐文章于 2019-09-03 23:02:13 发布

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#容斥原理

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本文探讨了如何通过动态规划的方法，求解给定区间[l,r]内，用最小底数a和最大指数b表示数字的最优组合。文中详细解释了动态规划的思路和实现细节，并提供了代码示例。注意处理pow函数的精度问题，确保算法的正确性和效率。

题意：

输入l，r，求出[l, r]区间内，表示成指数形式的指数和。

要求a^b，a尽量小，b尽量大。例如，16应该表示成2^4，而不是4^2。

思路：

参考自：http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/10977785

这算是容斥吧？初学的我也不大懂。

如果我们可以知道每个指数所表示的个数，那么问题就可以解决了。

感觉像动态规划，于是数组名就那样了。dp[i]：指数为i的个数。

1.对于每个i（由于2^60>1e18，因此 i 最大为60 即可）进行初始化：dp[i] = $\left \lfloor \sqrt[i]{n} \right \rfloor$ 。

2.可以看到dp[2]里面包含了指数表示为4，6，8……的个数，因此现在就是要把这些能够表示成更高次方的容斥出去（具体做法看代码）。

*这题卡pow的精度，因此要注意，我直接采用参考题解里的方法解决。

pow的精度不会误差误会超过1，因此测试x-1，x，x+1。

code：

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;
const double eps = 1e-9;
const double INF = (double)1e18+300;

LL a[65];
LL mul(LL tt, LL i)
{
	LL ret = 1, a = tt;
	while(i)
	{
		if(i&1)
		{
			double tmp = INF/ret;
			if(a>tmp) return -1;
			ret *= a;
		}
		i >>= 1;
		if(a>(1e9)&&i>0) return -1;
		a = a*a;
	}
	return ret;
}
		
LL check(LL tt, LL t, int i)
{
	//tt
	LL tmp = mul(tt, i);
	if(tmp == t) return tt;
	//tt-1;
	if(tmp > t || tmp == -1) return tt-1;
	//tt+1;
	else if(tmp < t)
	{
		tmp = mul(tt+1, i);
		if(tmp != -1 && tmp <= t) return tt+1;
	}
	return tt;
}
	
LL calc(LL t)
{
	if(t < 2) return 0;
	memset(a, 0, sizeof(a));
	int cnt = 1;
	a[1] = t-1;
	for(int i = 2;i <= 60; i++)
	{
		LL tt = (LL)(pow((double)t, 1.0/i)+eps);
		tt = check(tt, t, i);
		if(tt-1 == 0) break;
		a[i] = tt-1;
		cnt = i;
	}
	for(int i = cnt;i > 1; i--)
		for(int j = 1;j < i; j++)
			if(i%j==0) a[j]-=a[i];

	LL ret = 0;
	for(int i = cnt;i >= 1; i--)
		ret += a[i]*i;
	return ret;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	LL l, h;
	while(cin>>l>>h&&l)
		cout<<calc(h)-calc(l-1)<<endl;
	return 0;
}