整数划分的dfs和dp

整数划分问题是将一个给定的正整数划分成多个数的和，如给定5，划分的结果如下所示，注意这里将重复的划分剔除了。
比如5＝1＋1＋1＋2＝1＋1＋2＋1＝1＋2＋1＋1＝2＋1＋1＋1只保留了第一个。
5 = 1＋1＋1＋1＋1
5 = 1＋1＋1＋2
5 = 1＋1＋3
5 = 1＋2＋2
5 = 2＋3
5 = 1＋4
5 = 5

dfs代码如下：

int ans[100], cnt; 
//ans数组记录每次选取的数，cnt记录总的划分数
//n:参与划分的目标， k：现在选取第几个， ns保证下一个选取不小于当前值
//当n = 0时，表明n已经被瓜分完，因此这里可以输具体划分方案
void dfs(int n, int k, int ns){ 
	if (n == 0){    
		printf("%d: ", ++cnt);
		for (int i = 1; i < k; i++) 
			printf("%d ", ans[i]);
		printf("\n");
	}
	else for (int i = ns; i <= n; i++){
		if (i <= n){
			ans[k] = i;
			dfs(n - i, k + 1, i);
		}
	}
}

dp代码如下：

int dp(int n, int m){
	if (m == 1 || n == 1) //m = 1|| n == 1 仅有一种分发
		return 1;	
	if (n == m) //n == m, 如果划分包含m则就1种，否则最大值就是m-1,所以dp(n, m - 1)
		return 1 + dp(n, m - 1);
	if (n < m)  //n < m, 大于n的部分都不可能参与划分，所以dp(n, n)
	 	return dp(n, n);		
	if (n > m)  //n > m分为包含m和不包含m
		return dp(n - m, m) + dp(n, m - 1); 
}

当然dfs也可以指定拆分的数字

int ans[100], cnt, m[5] = { 0, 1, 3, 4, 7 };
void dfs(int n, int k, int ns){ 
	if (n == 0){
		printf("%d: ", ++cnt);
		for (int i = 1; i < k; i++)
			printf("%d ", ans[i]);
		printf("\n");
	}
	else for (int i = 1; i <= 4; i++){
		if (m[i] <= n && ns <= m[i]){
			ans[k] = m[i];
			dfs(n - m[i], k + 1, m[i]);
		}
	}
}

指定数字的整数划分实际就是找零钱问题，这里就是要将给定的n元，使用1、3、4、7四种面额的所有方法，当然如果要求最小，只需要稍微处理即可。

下面这篇博客对整数划分做了较为全面的总结：https://blog.youkuaiyun.com/u011889952/article/details/44813593