DP专题--数的划分

最新推荐文章于 2023-03-24 23:31:21 发布

原创

最新推荐文章于 2023-03-24 23:31:21 发布 · 1.8k 阅读

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

本文详细探讨了整数划分的各种类型，包括不限于：将整数划分成多个正整数之和、划分成固定数量的整数、划分成不超过特定数值的整数、划分成奇数以及寻找乘积最大的划分。通过动态规划（DP）方法解决这些问题，并提供了相应的算法思路和公式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

    NOIP之后感觉自己好像真的DP弱到不行，连背包都看不出来，= =其实也是因为并没有学习数学期望。所以滚过来专门补DP，还是从最基本的搞起来吧。
    改编自http://www.cnblogs.com/radiumlrb/p/5797168.html

题目要求：
1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。
　　2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
　　3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
　　4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
　　5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
　　

一.将n划分成不大于m的划分法：
　　1).若是划分多个整数可以存在相同的：
　　 dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]
　　 dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
　　则划分数可以分为两种情况:
　　a.划分中每个数都小于 m，相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1].
　　b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分，故划分数为 dp[n-m][m];
　　
　 2).若是划分多个不同的整数：
　　 dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1] dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
　　同样划分情况分为两种情况：
　　a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1].
　　b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分，
　　　并且每一个数不大于m-1，故划分数为 dp[n-m][m-1]
二.将n划分成k个数的划分法：
方法可以分为两类：dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

　　　　第一类: n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以