DP专题--数的划分

本文详细探讨了整数划分的各种类型,包括不限于:将整数划分成多个正整数之和、划分成固定数量的整数、划分成不超过特定数值的整数、划分成奇数以及寻找乘积最大的划分。通过动态规划(DP)方法解决这些问题,并提供了相应的算法思路和公式。

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    NOIP之后感觉自己好像真的DP弱到不行,连背包都看不出来,= =其实也是因为并没有学习数学期望。所以滚过来专门补DP,还是从最基本的搞起来吧。
    改编自http://www.cnblogs.com/radiumlrb/p/5797168.html

题目要求:
1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。
  2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
  3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
  4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
  5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
  

  • 一.将n划分成不大于m的划分法:
      1).若是划分多个整数可以存在相同的:
       dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]
       dp[n][m]表示整数 n 的划分中,每个数不大于 m 的划分数。
      则划分数可以分为两种情况:
      a.划分中每个数都小于 m,相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1].
      b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分, 故划分数为 dp[n-m][m];
      
      2).若是划分多个不同的整数:
       dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1] dp[n][m]表示整数 n 的划分中,每个数不大于 m 的划分数。
       同样划分情况分为两种情况:
      a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1].
      b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分,
       并且每一个数不大于m-1,故划分数为 dp[n-m][m-1]

  • 二.将n划分成k个数的划分法:
    方法可以分为两类:dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

        第一类: n 份中不包含 1 的分法,为保证每份都 >= 2,可以

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