HDU 5015 233 Matrix 矩阵快速幂

本文介绍了一道经典的矩阵快速幂题目,通过构建特定的递推矩阵和初始矩阵,利用矩阵快速幂的方法解决大规模递推问题。适用于解决行数较少但列数巨大的矩阵递推问题。

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链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5015

题意:给一个n*m的矩阵(n ≤ 10,m ≤ 109),给出矩阵中的A10,A20,A30...,矩阵中的A01=233,A02=2333,A03=23333...对于Aij来说,Aij=Ai-1j+Aij-1,问矩阵中的Anm是多少。

思路:行数只有10,所以可以进行逐列的递推,进行109的递推需要用矩阵快速幂。

递推矩阵:                                                          初始矩阵:

                               

代码:

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <ctype.h>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>
#define eps 1e-8
#define INF 0x7fffffff
#define maxn 10005
#define PI acos(-1.0)
#define seed 31//131,1313
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
using namespace std;
#define MOD 10000007
#define maxn 15
#define maxm 15
struct Matrix
{
    int n,m;
    LL a[maxn][maxm];
    void init()
    {
        n=m=0;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void change(int c,int d)
    {
        n=c;
        m=d;
    }
    Matrix operator +(const Matrix &b) const
    {
        Matrix tmp;
        tmp.n=n;
        tmp.m=m;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<m; j++)
                tmp.a[i][j]=a[i][j]+b.a[i][j];
        return tmp;
    }
    Matrix operator -(const Matrix &b) const
    {
        Matrix tmp;
        tmp.n=n;
        tmp.m=m;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<m; j++)
                tmp.a[i][j]=a[i][j]-b.a[i][j];
        return tmp;
    }
    Matrix operator *(const Matrix &b) const
    {
        Matrix tmp;
        tmp.n=n;
        tmp.m=b.m;
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<b.m; j++)
                tmp.a[i][j]=0;
        }
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<b.m; j++)
                for(int k=0; k<m; k++)
                {
                    tmp.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j];
                    tmp.a[i][j]%=MOD;
                }
        return tmp;
    }
    void Copy(const Matrix &x)
    {
        n=x.n;
        m=x.m;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<m; j++)
                a[i][j]=x.a[i][j];
    }
};
Matrix M_quick_pow(Matrix m,int k)
{
    Matrix tmp;
    tmp.n=m.n;
    tmp.m=m.m;//m=n才能做快速幂
    for(int i=0; i<tmp.n; i++)
    {
        for(int j=0; j<tmp.n; j++)
        {
            if(i==j)
                tmp.a[i][j]=1;
            else tmp.a[i][j]=0;
        }
    }
    while(k)
    {
        if(k&1)
            tmp.Copy(tmp*m);
        k>>=1;
        m.Copy(m*m);
    }
    return tmp;
}
int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    Matrix A,B;
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        A.init();
        B.init();
        A.n=n+2;
        A.m=n+2;
        A.a[0][0]=10;
        A.a[0][n+1]=1;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            A.a[i][0]=10;
            for(int j=1; j<=i; j++)
                A.a[i][j]=1;
            A.a[i][n+1]=1;
        }
        A.a[n+1][n+1]=1;
        A=M_quick_pow(A,m);
        B.n=n+2;
        B.m=1;
        B.a[0][0]=23;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%I64d",&B.a[i][0]);
            B.a[i][0]%=MOD;
        }
        B.a[n+1][0]=3;
        B.Copy(A*B);
        if(n==0&&m==0)
        {
            puts("0");
            continue;
        }
        printf("%I64d\n",B.a[n][0]);
    }
    return 0;
}


### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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