HDU 5015 233 Matrix 矩阵快速幂

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本文介绍了一道经典的矩阵快速幂题目，通过构建特定的递推矩阵和初始矩阵，利用矩阵快速幂的方法解决大规模递推问题。适用于解决行数较少但列数巨大的矩阵递推问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5015

题意：给一个n*m的矩阵(n ≤ 10,m ≤ 10⁹)，给出矩阵中的A10,A20,A30...，矩阵中的A01=233,A02=2333,A03=23333...对于Aij来说，Aij=Ai-1j+Aij-1，问矩阵中的Anm是多少。

思路：行数只有10，所以可以进行逐列的递推，进行10⁹的递推需要用矩阵快速幂。

递推矩阵：初始矩阵：

代码：

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <ctype.h>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>
#include <string>
#include <vector>
#define eps 1e-8
#define INF 0x7fffffff
#define maxn 10005
#define PI acos(-1.0)
#define seed 31//131,1313
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
using namespace std;
#define MOD 10000007
#define maxn 15
#define maxm 15
struct Matrix
{
    int n,m;
    LL a[maxn][maxm];
    void init()
    {
        n=m=0;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void change(int c,int d)
    {
        n=c;
        m=d;
    }
    Matrix operator +(const Matrix &b) const
    {
        Matrix tmp;
        tmp.n=n;
        tmp.m=m;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<m; j++)
                tmp.a[i][j]=a[i][j]+b.a[i][j];
        return tmp;
    }
    Matrix operator -(const Matrix &b) const
    {
        Matrix tmp;
        tmp.n=n;
        tmp.m=m;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<m; j++)
                tmp.a[i][j]=a[i][j]-b.a[i][j];
        return tmp;
    }
    Matrix operator *(const Matrix &b) const
    {
        Matrix tmp;
        tmp.n=n;
        tmp.m=b.m;
        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<b.m; j++)
                tmp.a[i][j]=0;
        }
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<b.m; j++)
                for(int k=0; k<m; k++)
                {
                    tmp.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j];
                    tmp.a[i][j]%=MOD;
                }
        return tmp;
    }
    void Copy(const Matrix &x)
    {
        n=x.n;
        m=x.m;
        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<m; j++)
                a[i][j]=x.a[i][j];
    }
};
Matrix M_quick_pow(Matrix m,int k)
{
    Matrix tmp;
    tmp.n=m.n;
    tmp.m=m.m;//m=n才能做快速幂
    for(int i=0; i<tmp.n; i++)
    {
        for(int j=0; j<tmp.n; j++)
        {
            if(i==j)
                tmp.a[i][j]=1;
            else tmp.a[i][j]=0;
        }
    }
    while(k)
    {
        if(k&1)
            tmp.Copy(tmp*m);
        k>>=1;
        m.Copy(m*m);
    }
    return tmp;
}
int main()
{
#ifdef LOCAL
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    Matrix A,B;
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        A.init();
        B.init();
        A.n=n+2;
        A.m=n+2;
        A.a[0][0]=10;
        A.a[0][n+1]=1;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            A.a[i][0]=10;
            for(int j=1; j<=i; j++)
                A.a[i][j]=1;
            A.a[i][n+1]=1;
        }
        A.a[n+1][n+1]=1;
        A=M_quick_pow(A,m);
        B.n=n+2;
        B.m=1;
        B.a[0][0]=23;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%I64d",&B.a[i][0]);
            B.a[i][0]%=MOD;
        }
        B.a[n+1][0]=3;
        B.Copy(A*B);
        if(n==0&&m==0)
        {
            puts("0");
            continue;
        }
        printf("%I64d\n",B.a[n][0]);
    }
    return 0;
}