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最新推荐文章于 2024-11-18 20:06:38 发布

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分类专栏：数论 codeforces

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题意：
有函数 $f_{0,n}=将n分解为两个互质的数的积的方案数$
$f_{r,n}=\sum \frac{f_{r-1,u}+f_{r-1,v}}{2}(uv=n)$
m组询问，给出r，n，求 $f_{r,n}$ 对10^9+7取模的余数
m,r,n<=10^6

#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#define N 1000010
#define M 22
#define mmod 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
int m,f[N][M],p[N],pl,minp[N],ans,s[N][M];
bool b[N];
void get_p()
{
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(b[i]==0) {p[++pl]=i;minp[i]=i;}
        for(int j=1;j<=pl;j++)
        {
            if(i*p[j]>=N) break;
            b[i*p[j]]=1;
            minp[i*p[j]]=p[j];
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    get_p();
    for(int i=1;i<M;i++) f[0][i]=2,s[0][i]=2*i+1;
    f[0][0]=s[0][0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        for(int j=0;j<M;j++) f[i][j]=s[i-1][j];
        s[i][0]=f[i][0];
        for(int j=1;j<M;j++) s[i][j]=(s[i][j-1]+f[i][j])%mmod;
    }
    scanf("%d",&m);
    while(m--)
    {
        int n,r;
        scanf("%d%d",&r,&n);
        ans=1;
        while(n>1)
        {
            int t=minp[n],k=0;
            while(minp[n]==t) {n/=t;k++;}
            ans=(LL)ans*f[r][k]%mmod;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

题解：
设n有k种不同质因子。容易看出：
$f_{0,n}=2^k$
$f_{r,n}=\sum_{d|n}f_{r-1,d}$
然后我就没什么想法了，看了一眼题解。。(捂脸)
注意 $f_0$ 是一个积性函数，而 $f_r=f_{r-1}*1$ 也是积性函数，所以只需要求出 $f_{r,p^k}$ 。
注意 $f_{r,p^k}$ 的值只与r和k有关，暴力预处理，询问时分解质因数即可。
这题看起来不像数学题，但要用到数学题的分析方法。