CF757E（积性函数）

problem

思路

满足$pq=n$且$gcd(p,q)=1$的二元组个数是多少呢？

显然是$2^{w(n)}$个，其中$w(n)$是不同的素因子的数目

那么$f_{r+1}(n)=\sum_{uv=n}\frac{f_r(u)+f_r(v)}{2}$如何计算呢？

$f_{r+1}(n)=\sum_{uv=n}\frac{f_r(u)+f_r(v)}{2}=\sum_{d|n}f_r(d)$

由于$r\ 1e6$，询问又有$1e6$，那我们不可能暴力搞。

我们知道$f_r(n)$是积性函数 问题转为求解$f_r(p^k)$

由于$f_r(p^k)=\sum_{i=0}^{i=k}f_{r-1}(p^i)$

由于任意p，k>=1，有$f_0(p^k)=2$，因此$f_r(p^k)$的值和$p$无关。预处理所有的$r,k$组合即可。k是log级别的。

时间复杂度 $O(rlogn+T*(\frac{\sqrt{n}}{log1e3}))$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;

const int maxn=1e6+10;
ll help[maxn][21];// r  k 给定时 不同p结果相同

bool valid[1010];
int ans[500];
int tot;

void init()
{
    help[0][0]=1;
    for(int k=1;k<=20;++k) help[0][k]=2;
    for(int r=1;r<=int(1e6);++r){
            help[r][0]=help[r-1][0];
        for(int k=1;k<=20;++k){
            help[r][k]=(help[r][k-1]+help[r-1][k])%mod;
        }
    }
}

void get_prime(int n)
{
    tot=0;
    memset(valid,true,sizeof(valid));
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(valid[i]){
            ans[++tot]=i;
        }
        for(int j=1;ans[j]*i<=n;++j){
            valid[ans[j]*i]=false;
            if(i%ans[j]==0){
                break;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    //cout<<clock()<<endl;
    init();
    get_prime(1010);
    //cout<<tot<<endl;
    //cout<<clock()<<endl;
    //cout<<help[1][1]<<" "<<help[1][2]<<endl;
    while(t--)
    {
        int r,n;
        scanf("%d%d",&r,&n);
        ll res=1;
        for(int j=1;ans[j]*ans[j]<=n && j<=tot;++j){
            int i=ans[j];
            if(n%i==0){
                int k=0;
                while(n%i==0){
                    n/=i;
                    k++;
                }
                //cout<<i<<" "<<k<<endl;
                res=(res*help[r][k])%mod;
            }
        }
        if(n>1){
            res=(res*help[r][1])%mod;
            //cout<<n<<endl;
        }
        printf("%lld\n",res);
    }
    return 0;
}