0-1背包问题练习

0-1背包问题练习

题目描述：

编号为a，b，c，d，e的5个物品，体积分别为2，2，6，5，4，价值分别为6，3，5，4，6。现在有一个容量为10的背包，如何往包中装东西，使得包里的物品总价值最大。

这就是0-1背包问题，0、1分别代表是否选在该物品。解决此类问题最常用的方法就是动态规划。

我们用一个数组记录背包容量从1到10的所有最优情况，只要能构造出这个数组，就能求出最优解。

id	capacity	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

需要说明的是，这张表是从下往上，从右往左填写的。对于e那行的第一列，我们用(e,1)表示，很明显(e,1)=0，(e,2)=0, (e,3)=0, (e, 4)=6 等等等等。

(e,1) = 0，表示当前只有e这一个物品，同时背包容量为1，由于e的体积大于背包容量，所以e放不进去，那么此时背包的最大价值是0。同理(e,4) = 6，表示背包容量为4时，e能放进去了，所以背包价值为6。

(d,1) = 0，表示当前物品有d和e，背包的容量为1，由于容量太小d和e都放不进去，所以背包的价值为0。同理(d,5) = 6，表示当背包容量为5时，d和e只能放一个，因为e的价值高，所以放入e，此时背包的价值为6。(d,9) = 10， 表示当背包容量为9时，d和e都能放进去，此时背包的价值是9。

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经过上面的论述，可以总结出以下规律：

假设我们有0，1，2，…，i，…n个物体，用m(i, j)表示现在遍历到第 i 个物体，并且当前背包容量为 j 时背包的价值，

• 如果背包放不下它，那么m(i,j) = m(i-1, j)，背包当前的状态和之前一样一样的
• 如果背包能放下它，那么m(i,j) = max{ m(i-1,j), m(i-1, j-c) + v) }，放还是不放这是个问题，如果价值变大了，就放。其中c表示物体 i 的体积，v表示 i 的价值。

这个规律，就是传说中的状态转移方程~，有了它我们的程序就好写了。
注：程序没有考虑特殊输入，和非法输入，仅为了验证动态规划的思想。作者纯小白一枚~

import java.util.Arrays;

/**
 * 0-1背包问题，用动态规划解决
 * @author lijialin
 * 
 */

public class Bag {

    public static int solution(int[] cap, int[] val, int max_cap) {
        if(cap.length != val.length) {
            return -1;
        }
        // 首先建立dp矩阵
        int num = cap.length;
        int[][] dp = new int[num][max_cap + 1];

        // 从下往上填写dp矩阵，首先填写倒数第一行
        for(int i = 0; i <= max_cap; i++) {
            if(i < cap[num-1]) { // 如果容量小于最后一个物品的体积
                dp[num-1][i] = 0;
            }else {
                dp[num-1][i] = val[num-1];
            }
        }

        // 然后从倒数第二行开始，用状态转移方程，依次填写表格
        for(int i = num-2; i >= 0; i--) {
            for(int j = 0; j <= max_cap; j++) {
                if(j < cap[i]) {
                    dp[i][j] = dp[i+1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j], dp[i+1][j - cap[i]] + val[i]);
                }
            }
        }

        // 打印表格
        System.out.println("dp数组为：");
        for(int i = 0; i < num; i++) {
            for(int j = 0; j <= max_cap; j++) {
                System.out.print(dp[i][j] + " ");
            }
            System.out.println();
        }

        int max = dp[0][max_cap]; //背包的最大价值

        // 构造出最优解
        // 方法，从最后一列开始构造
        int[] result = new int[num];
        int i = 0;
        for(int j = max_cap; j >= 0 && i < num;) {
            if(i+1 < num && dp[i][j] == dp[i+1][j]) {
                result[i] = 0;
            }else{
                result[i] = 1;
                j -= cap[i];
            }
            i++;
        }

        // 打印result
        System.out.println("最优解是，0代表没选，1代表选了"); 
        System.out.println(Arrays.toString(result));

        return max;

    }

    public static void main(String[] args) {

        int[] cap = {2, 2, 6, 5, 4}; // 每个物品的体积
        int[] val = {6, 3, 5, 4, 6}; // 每个物品的价值
        int bag_cap = 10;            //背包的总容量
        int max_val = solution(cap, val, bag_cap);
        System.out.println(max_val);
    }

}

总结一下：
理解状态转移方程，就理解了这个类型的问题

• 如果背包放不下它，那么m(i,j) = m(i-1, j)，背包当前的状态和之前一样一样的
• 如果背包能放下它，那么m(i,j) = max{ m(i-1,j), m(i-1, j-c) + v) }，放还是不放这是个问题，如果价值变大了，就放。其中c表示物体 i 的体积，v表示 i 的价值。

加油哦！！