漫步数理统计二十六——多元正态分布

本片博文介绍多元正态分布，我们以$n$维随机变量为主，但给出$n=2$时二元情况的一些实例。与上篇文章一样，我们首先介绍标准情况然后扩展到一般情况，当然这里会用到向量与矩阵符号。

考虑随机向量$\mathbf{Z}=(Z_1,\ldots,Z_n)^\prime$，其中$Z_1,\ldots,Z_n$是独立同分布的$N(0,1)$随机变量，那么对$\mathbf{z}\in R^n,\mathbf{Z}$的密度为

$$\begin{align} f_{\mathbf{Z}}(\mathbf{z}) &=\prod_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left\{-\frac{1}{2}z_i^2\right\}=\left(\frac{1}{2\pi}\right)^{n/2}\exp\left\{-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nz_i^2\right\}\nonumber\\ &=\left(\frac{1}{2\pi}\right)^{n/2}\exp\left\{-\frac{1}{2}\mathbf{z}^\prime\mathbf{z}\right\}\tag1 \end{align}$$

因为$Z_i$的均值为0，方差为1且不相关，所以$\mathbf{Z}$的均值与协方差矩阵为

$$\begin{equation} E[\mathbf{Z}]=\mathbf{0},Cov[\mathbf{Z}]=\mathbf{I_n}\tag2 \end{equation}$$

其中$\mathbf{I_n}$表示$n$阶单位矩阵。回忆一下$Z_i$为$\exp{t_i^2/2}$，因为$Z_i$是独立的，所以对于所有的$\mathbf{t}\in R^n,\mathbf{Z}$的mgf为

$$\begin{align} M_{\mathbf{Z}}(\mathbf{t})=E[\exp\{\mathbf{t}^\prime\mathbf{Z}\}] &=E\left[\prod_{i=1}^n\exp\{t_iZ_i\}\right]=\prod_{i=1}^nE[\exp\{t_iZ_i\}]\nonumber\\ &=\exp\left\{\frac{1}{2}\sum_{i=1}^nt_i^2\right\}=\exp\left\{\frac{1}{2}\mathbf{t}^\prime\mathbf{t}\right\}\tag3 \end{align}$$

我们称$\mathbf{Z}$是均值为$\mathbf{0}$协方差矩阵为$\mathbf{I}_n$的多元正态分布，简写成$\mathbf{Z}$满足$N_n(\mathbf{0},\mathbf{I}_n)$分布。

对于一般情况，假设$\boldsymbol{\Sigma}$是$n\times n$的对称，半正定矩阵(psd)，那么根据线性代数的知识，我们总能将$\boldsymbol{\Sigma}$分解为

$$\begin{equation} \boldsymbol{\Sigma=\Gamma^\prime\Lambda\Gamma}\tag4 \end{equation}$$

其中$\boldsymbol{\Lambda}$是对角矩阵，$\boldsymbol{\Lambda}=diag(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n),\lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\lambda_n\geq0$是$\boldsymbol{\Sigma}$的特征值，$\boldsymbol{\Gamma^\prime}$的列$\boldsymbol{v_1,v_2,\ldots,v_n}$是相应的特征向量，这个分解叫做$\boldsymbol{\Sigma}$的谱分解，矩阵$\boldsymbol{\Gamma}$是正交矩阵，即$\boldsymbol{\Gamma^{-1}=\Gamma^\prime}$因此$\boldsymbol{\Gamma\Gamma^\prime}=\mathbf{I}$。另外还可以将谱分解写成如下形式：

$$\begin{equation} \boldsymbol{\Sigma=\Gamma^\prime\Lambda\Gamma}=\sum_{i=1}^n\lambda_i\mathbf{v_iv_i^\prime}\tag5 \end{equation}$$

因为$\lambda_i$是非负的，所以我们能定义对角矩阵$\boldsymbol{\Lambda^{1/2}}=(\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n})$，那么$\boldsymbol{\Gamma}$的正交性就意味着

$$\boldsymbol{\Sigma=\Gamma^\prime\Lambda^{1/2}\Gamma\Gamma^\prime\Lambda^{1/2}\Gamma}$$

定义矩阵$\boldsymbol{\Sigma}$的平方根为

$$\begin{equation} \boldsymbol{\Sigma^{1/2}=\Gamma^\prime\Lambda^{1/2}\Gamma}\tag6 \end{equation}$$

其中$\boldsymbol{\Lambda^{1/2}}=diag(\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n})$，注意$\boldsymbol{\Sigma^{1/2}}$是对称psd矩阵，假设$\boldsymbol{\Sigma}$是正定的$(pd)$；即它的特征值都为正，那么很容易说明

$$\begin{equation} (\boldsymbol{\Sigma^{1/2}})^{-1}=\boldsymbol{\Gamma^\prime\Lambda^{-1/2}\Gamma}\tag7 \end{equation}$$

我们可以将等式左边写成$\boldsymbol{\Sigma^{-1/2}}$。

$\mathbf{Z}$满足$N(\mathbf{0,I}_n)$分布，令$\boldsymbol{\Sigma}$是对称半正定矩阵且$\boldsymbol{\mu}$是$n\times 1$的常向量，随机向量$\mathbf{X}$定义为

$$\begin{equation} \mathbf{X}=\boldsymbol{\Sigma^{1/2}}\mathbf{Z+}\boldsymbol{\mu}\tag8 \end{equation}$$

根据$(2)$可得

$$\begin{equation} E[\mathbf{X}]=\boldsymbol{\mu},Cov[\mathbf{X}]=\boldsymbol{\Sigma^{1/2}}\boldsymbol{\Sigma^{1/2}}=\boldsymbol{\Sigma}\tag9 \end{equation}$$

进一步$\mathbf{X}$的mgf为

$$\begin{align} M_{\mathbf{X}}(\mathbf{t})=E[\exp\{\mathbf{t^\prime X}\}] &=E[\exp\{\mathbf{t^\prime}\boldsymbol{\Sigma^{1/2}}\mathbf{Z}+\mathbf{t^\prime}\boldsymbol{\mu}\}]\nonumber\\ &=\exp\{\mathbf{t^\prime}\boldsymbol{\mu}\}E[\exp\{(\boldsymbol{\Sigma^{1/2}}\mathbf{t})^\prime\mathbf{Z}\}]\nonumber\\ &=\exp\{\mathbf{t^\prime}\exp\{(1/2)(\boldsymbol{\Sigma^{1/2}}\mathbf{t})^\prime\boldsymbol{\Sigma^{1/2}}\mathbf{t}\}\nonumber\\ &=\exp\{\mathbf{t^\prime}\exp\{(1/2)\mathbf{t^\prime}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{t}\}\tag{10} \end{align}$$

这就产生了下面的定义：

$\textbf{定义1：}$我们称$n$维随机变量$\mathbf{X}$是多元正态分布，当且仅当对所有的$\mathbf{t}\in R^n$，它的mgf为

$$\begin{equation} M_{\mathbf{X}}(\mathbf{t})=\exp\{\mathbf{t}^\prime\mathbf{\mu}+(1/2)\mathbf{t}^\prime\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{t}\}\tag{11} \end{equation}$$

其中$\boldsymbol{\Sigma}$是对称半正定矩阵且$\boldsymbol{\mu}\in R^n$，我们简单称$\mathbf{X}$满足$N_n(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$分布。

注意这里我们是对半正定矩阵进行定义，一般情况$\boldsymbol{\Sigma}$是正定的，这种情况下我们可以进一步得到$\mathbf{X}$的密度。如果$\boldsymbol{\Sigma}$是正定的，那么$\boldsymbol{\Sigma}^{1/2}$也是正定的，它的逆就是$(7)$，所以$\mathbf{X,Z}$之间的变换$(8)$是一对一的变换，它的逆变换为

$$\mathbf{Z}=\boldsymbol{\Sigma}^{-1/2}(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})$$

雅可比为$\boldsymbol{|\Sigma^{-1/2}|=|\Sigma|^{-1/2}}$，因此通过化简得到$\mathbf{X}$的pdf为

$$\begin{equation} f_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^\prime\boldsymbol{\Sigma}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right\}\tag{12} \end{equation}$$

下面的两个定理非常有用，第一个是说多元正态随机向量的线性变换满足多元正态分布。

$\textbf{定理1：}$假设$\mathbf{X}$满足$N_n(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$分布，令$\mathbf{Y=AX+b}$，其中$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵且$b\in R^m$，那么$\mathbf{Y}$满足$N_m(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu}+\mathbf{b},\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^\prime)$。

$\textbf{证明：}$根据$(11)$，对所有的$\mathbf{t}\in R^m$，$\mathbf{Y}$的mgf为

$$\begin{align*} M_{\mathbf{Y}}(\mathbf{t}) &=E[\exp\{\mathbf{t}^\prime\mathbf{Y}\}]\\ &=E[\exp\{\mathbf{t}^\prime(\mathbf{AX+b})\}]\\ &=\exp\{\mathbf{t^\prime b}\}E[\exp\{(\mathbf{A^\prime t})^\prime\mathbf{X}\}]\\ &=\exp\{\mathbf{t^\prime b}\}\exp\{\mathbf{(A^\prime t)^\prime}\boldsymbol{\mu}+(1/2)(\mathbf{A^\prime t})^\prime\boldsymbol{\Sigma}(\mathbf{A^\prime t})\}\\ &=\exp\{\mathbf{t^\prime}(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu}+\mathbf{b})+(1/2)\mathbf{t^\prime A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A^\prime t}\} \end{align*}$$

这是$N_m(\mathbf{A}\boldsymbol{\mu}+\mathbf{b},\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^\prime)$分布的mgf。$||$

该定理简单的推论给出了多元正态随机变量的边缘分布，令$\mathbf{X_1}$是$\mathbf{X}$的任意子向量，维数$m<n$，因为我们能够重排均值与相关性，不失一般性，$\mathbf{X}$可以写成

$$\begin{equation} \mathbf{X}= \begin{bmatrix} \mathbf{X_1}\\ \mathbf{X_2} \end{bmatrix}\tag{13} \end{equation}$$

其中$\mathbf{X_2}$的维数为$p=n-m$，利用同样的方法拆分$\mathbf{X}$的均值与协方差矩阵得：

$$\begin{equation} \boldsymbol{\mu}= \begin{bmatrix} \boldsymbol{\mu_1}\\ \boldsymbol{\mu_2} \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{\Sigma}= \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma_{11}}&\boldsymbol{\Sigma_{12}}\\ \boldsymbol{\Sigma_{21}}&\boldsymbol{\Sigma_{22}} \end{bmatrix}\tag{14} \end{equation}$$

注意$\boldsymbol{\Sigma_{11}}$是$\mathbf{X_1}$得协方差矩阵，$\boldsymbol{\Sigma_{12}}$包含$\mathbf{X_1,X_2}$元素之间的所有协方差，现在定义$\mathbf{A}$为矩阵

$$\mathbf{A}=[\mathbf{I}_m\vdots\mathbf{O}_{mp}]$$

其中$\mathbf{O}_{mp}$是一个$m\times p$的零矩阵，那么$\mathbf{X_1=AX}$。因此在这个变换上应用定理1可以得到下面的推论：

$\textbf{推论1：}$假设$\mathbf{X}$满足$N_n(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$分布，将其分成$(13),(14)$的形式，那么$\mathbf{X_1}$满足$N_m(\boldsymbol{\mu}_1,\boldsymbol{\Sigma_{11}})$分布。

这是个非常有用的结论，因为它说明$\mathbf{X}$的任何边缘分布也是正态分布，进一步它的均值与协方差矩阵与其部分向量的均值与方差有关。

$\textbf{例1：}$本例展示$n=2$的多元正态情况，这种情况的分布称为二元正态，我们使用常用的符号$(X,Y)$而不是$(X_1,X_2)$，所以假设$(X,Y)$满足$N_2(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$分布，其中

$$\begin{equation} \boldsymbol{\mu}= \begin{bmatrix} \mu_1\\ \mu_2 \end{bmatrix} \quad \boldsymbol{\Sigma}= \begin{bmatrix} \sigma_1^2&\sigma_{12}\\ \sigma_{12}&\sigma_2^2 \end{bmatrix}\tag{15} \end{equation}$$

这里$\mu_1,\sigma_1^2$分别是$X$的均值与方差；$\mu_2,\sigma_2^2$分别是$Y$的均值与方差；$\sigma_{12}$是$X,Y$之间的协方差，回顾一下$\sigma_{12}=\rho\sigma_1\sigma_2$，其中$\rho$是$X,Y$之间的相关系数。将$\rho\sigma_1\sigma_2$代入$\boldsymbol{\Sigma}$中的$\sigma_{12}$，很容易看出$\boldsymbol{\Sigma}$的行列式为$\sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)$。另外$\rho^2\leq 1$，接下里我们假设$\rho^2<1$，这时候$\boldsymbol{\Sigma}$是可逆的(也是正定的)，进一步因为$\boldsymbol{\Sigma}$是一个$2\times 2$矩阵，所以它的逆很容易定义为

$$\begin{equation} \boldsymbol{\Sigma^{-1}}=\frac{1}{\sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)} \begin{bmatrix} \sigma_2^2&-\rho\sigma_1\sigma_2\\ -\rho\sigma_1\sigma_2&\sigma_1^2 \end{bmatrix}\tag{16} \end{equation}$$

利用这个表达式，$(X,Y)$的pdf可以写成

$$\begin{equation} f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}e^{-q/2},\ -\infty<x<\infty,\ -\infty<y<\infty\tag{17} \end{equation}$$

其中，

$$\begin{equation} q=\frac{1}{1-\rho^2}\left[\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2-2\rho\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)\left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)+\left(\frac{y-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2\right]\tag{18} \end{equation}$$

如果$X,Y$是独立的随机变量，那么它们的相关系数为0。如果它们是正态的，根据推论1，$X$满足$N(\mu_1,\sigma_1^2)$分布，$Y$满足$N(\mu_2,\sigma_2^2)$分布。进一步，基于$(17)$，对于$(X,Y)$的联合pdf，如果相关系数为0，那么$X,Y$是独立的。即对于二元正态情况，独立等价于$\rho=0$，多元正态情况同样成立。

一般而言，如果两个随机变量是独立的，那么它们的协方差为0，但是反过来不一定对。然而对于正态情况却为真。

$\textbf{定理2：}$假设$\mathbf{X}$满足$N_n(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$分布，且如$(13),(14)$那样划分，那么$\mathbf{X_1,X_2}$是独立的，当且仅当$\boldsymbol{\Sigma_{12}}=\mathbf{O}$。

$\textbf{证明：}$首先注意到$\boldsymbol{\Sigma_{21}=\Sigma{12}^\prime}$，$\mathbf{X_1,X_2}$的联合mgf为

$$\begin{equation} M_{\mathbf{X_1,X_2}}(\mathbf{t_1,t_2})=\exp\left\{\mathbf{t_1}^\prime\boldsymbol{\mu_1}+\mathbf{t_2}^\prime\boldsymbol{\mu_2}+\frac{1}{2}(\mathbf{t_1^\prime}\boldsymbol{\Sigma_{11}}\mathbf{t_1}+\mathbf{t_2^\prime}\boldsymbol{\Sigma_{22}}\mathbf{t_2}+\mathbf{t_2^\prime}\boldsymbol{\Sigma_{21}}\mathbf{t_1}+\mathbf{t_1^\prime}\boldsymbol{\Sigma_{12}}\mathbf{t_2})\right\}\tag{19} \end{equation}$$

其中$\mathbf{t=(t_1^\prime,t_2^\prime)}$是与$\boldsymbol{\mu}$一样的划分，根据推论1，$\mathbf{X_1}$满足$N_m(\boldsymbol{\mu_1},\boldsymbol{\Sigma_{11}})$分布，$\mathbf{X_2}$满足$N_p(\boldsymbol{\mu_2},\boldsymbol{\Sigma_{22}})$分布，因此它们边缘mgf的乘积为：

$$\begin{equation} M_{\mathbf{X_1}}(\mathbf{t_1})M_{\mathbf{X_2}}(\mathbf{t_2})=\exp\left\{\mathbf{t_1^\prime}\boldsymbol{\mu_1}+\mathbf{t_2^\prime}\boldsymbol{\mu_2}+\frac{1}{2}(\mathbf{t_1^\prime}\boldsymbol{\Sigma_{11}}\mathbf{t_1}+\mathbf{t_2^\prime}\boldsymbol{\Sigma_{22}\mathbf{t_2}})\right\}\tag{20} \end{equation}$$

$\mathbf{X_1,X_2}$是独立的，当且仅当$(19),(20)$想等。如果$\boldsymbol{\Sigma_{12}}=\mathbf{O}$，那么表达式想等且$\mathbf{X_1,X_2}$独立。如果$\mathbf{X_1,X_2}$独立，那么它们元素之间的协方差为0；即$\boldsymbol{\Sigma_{12}}=\mathbf{O},\boldsymbol{\Sigma_{21}}=\mathbf{O}$。

推论1说明多元正态的边缘分布是正态分布，条件分布同样如此。结合定理1与定理2可以得出下面的定理。

$\textbf{定理3：}$假设$\mathbf{X}$满足$N_n(\boldsymbol{\mu,\Sigma})$分布，划分成$(13),(14)$，假设$\boldsymbol{\Sigma}$是正定的，那么$\mathbf{X_1|X_2}$的条件分布为

$$\begin{equation} N_m(\boldsymbol{\mu_1+\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(\mathbf{X_2}-\boldsymbol{\mu_2}}),\boldsymbol{\Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}})\tag{21} \end{equation}$$

$\textbf{证明：}$考虑随机变量$\mathbf{W=X_1-}\boldsymbol{\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}}\mathbf{X_2}$与$\mathbf{X_2}$的联合分布，这个分布是通过下面的变换得到的

$$\begin{bmatrix} \mathbf{W}\\ \mathbf{X_2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf{I}_m&-\boldsymbol{\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}}\\ \mathbf{O}&\mathbf{I}_p \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{X_1}\\ \mathbf{X_2} \end{bmatrix}$$

因为这是一个线性变换，所以根据定理1可知联合分布为多元正态，且$E[\mathbf{W}]=\boldsymbol{\mu_1-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\mu_2},E[\mathbf{X_2}]=\boldsymbol{\mu_2}$，协方差矩阵为

$$\begin{align*} &\begin{bmatrix} \mathbf{I}_m&-\boldsymbol{\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}}\\ \mathbf{O}&\mathbf{I}_p \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma_{11}}&\boldsymbol{\Sigma_{12}}\\ \boldsymbol{\Sigma_{21}}&\boldsymbol{\Sigma_{22}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{I}_m&\mathbf{O}\\ -\boldsymbol{\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}}&\mathbf{I}_p \end{bmatrix}=\\ &\begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma_{11}-\boldsymbol{\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}}}&\mathbf{O}\\ \mathbf{O}&\boldsymbol{\Sigma_{22}} \end{bmatrix} \end{align*}$$

因此根据定理2，随机向量$\mathbf{W,X_2}$是独立的，故$\mathbf{W|X_2}$的条件分布与$\mathbf{W}$的边缘分布一样；即
$\mathbf{W|X_2}$满足$N_m(\boldsymbol{\mu_1-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\mu_2},\boldsymbol{\Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}})$，进一步因为独立性，给定$\mathbf{X_2},\mathbf{W+}\boldsymbol{\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}}\mathbf{X_2}$的分布为

$$\begin{equation} N_m(\boldsymbol{\mu_1-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\mu_2}+\boldsymbol{\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}}\mathbf{X_2},\boldsymbol{\Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}})\tag{22} \end{equation}$$

得证。$||$

$\textbf{例2：}$依然考虑例1的二元情况，我们反转下变量，使得$\mathbf{Y=X_1,X=X_2}$，给定$X=x,Y$的条件分布根据$(21)$可知为

$$\begin{equation} N[\mu_2+\rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1),\sigma_2^2(1-\rho^2)]\tag{23} \end{equation}$$

因此而与二元正态分布，给定$X=x$，$Y$的条件均值是$x$的线性函数

$$E(Y|x)=\mu_2+\rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1)$$

线性条件均值$E(Y|x)$中$x$的系数为$\rho\sigma_2/\sigma_1$。在一般线性条件均值$E(Y|x)$中$x$的系数为相关系数与$\sigma_2/\sigma_1$的乘积。

虽然给定$X=x,Y$的条件分布均值依赖$x$(除非$\rho=0$)，但是方差$\sigma_2^2(1-\rho^2)$对所有$x$值都是一样的，同样的方式我们可以给出$Y=y,X$的条件分布为

$$N[\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2),\sigma_1^2(1-\rho^2)]$$

回忆一下，如果随机变量$X$满足$N(\mu,\sigma_2)$分布，那么随机变量$[(X-\mu)/\sigma]^2$满足$\chi^2(1)$分布，多元情况类似，如下定理所述。

$\textbf{定理4：}$假设$\mathbf{X}$满足$N_n(\boldsymbol{\mu,\Sigma})$分布，其中$\boldsymbol{\Sigma}$是正定矩阵，那么随机变量$W=(\mathbf{X-}\boldsymbol{\mu})^\prime\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})$满足$\chi^2(n)$分布。

$\textbf{证明：}$将$\boldsymbol{\Sigma}$写成$\boldsymbol{\Sigma}^{1/2}\boldsymbol{\Sigma}^{1/2}$，其中$\boldsymbol{\Sigma}^{1/2}$定义为$(6)$，那么$\mathbf{Z=}\boldsymbol{\Sigma^{-1/2}}(\mathbf{X-\boldsymbol{\mu}})$满足$N_n(\mathbf{0,I}_n)$，令$W=\mathbf{Z^\prime Z}=\sum_{i=1}^nZ_i^2$，因为对于$i=1,2,\ldots,n,Z_i$满足$N(0,1)$分布，所以$Z_i^2$满足$\chi^2(1)$分布，因为$Z_1,\ldots,Z_n$是独立的标准正态分布，所以$\sum_{i=1}Z_i^2=W$满足$\chi^2(n)$分布。