漫步微积分十五——凹凸性和拐点

图像有个最显著的特征，就是它弯曲的朝向。图1的左边，曲线是凹的，右边是凸的。二阶导的符号可以向我们提供凹凸信息。

图1

正的二阶导$f''(x)>0$说明$f'(x)$的斜率是$x$的增函数。这意味着切线从左到右逆时针转动，如图2左边。我们说曲线是凹的(凹面是空心的那一边)。除了切点外，曲线位于切线的上方。同样的，如果二阶导是负的$f''(x)<0$，那么$f'(x)$的斜率是减函数，切线从左到右顺时针转动，如图2右边。我们说曲线是凸的。除了切点以外，曲线位于切线的下方。

图2

大部分曲线在某些区间为凹的，在其他区间为凸的。像图2中的点P，通过它后凹凸性会改变，这样的点叫做拐点。如果$f''(x)$是连续的，且在点$P$两侧符号相反，那么P本身就是零点。找拐点主要就是求解等式$f''(x)=0$，检查每个根两边的凹凸性。

例1：考虑函数

$$y=f(x)=2x^3-12x^2+18x-2$$
的凹凸性，计算一阶导
$$f'(x)=6x^2-24x+18=6(x-1)(x-3)$$
二阶导
$$f''(x)=12x-24=12(x-2).$$
驻点($f'(x)=0$的根)是$x=1,x=3$，对应的值为$y=6,y=-2$。 可能的拐点是$x=2$，因为它是$f''(x)=0$的根。很明显$x<2$ 时函数为正，$x>2$时函数为负，所以图像在$x=2$左边为凸，右边为凹。所以的确存在一个拐点，如图3。

图3

例2：有理函数

$$y=\frac{1}{x^2+1}$$
比较容易画出来，因为它关于$y$轴对称。在$x=0$处有最小值，因为此时分母最小，当$|x|\to \infty$时，$y\to 0$。 从直觉上它的图像如图4。很明存在两个拐点，接下来的问题是如果确定他们的位置。首先，计算一阶导
$$y'=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$$
二阶导
$$\begin{eqnarray*} y'' &=&\frac{(x^2+1)^2\cdot (-2)+2x\cdot 2(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2+1)^4}\\ &=&\frac{(x^2+1)\cdot (-2)+8x^2}{(x^2+1)^3}=\frac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$$
解等式$y''=0$的$x=\pm1/\sqrt{3}$，拐点的位置。我们可以根据每部分凹凸性来证实最开始我们对它的大致印象。当$x^2<\frac{1}{3}$时，$y''<0$。当$x^2>\frac{1}{3}$时，$y''>0$。这些事实告诉我们$-1/\sqrt{3}<x<1/\sqrt{3}$时，图像时凸的，其余部分是凹的。

图4

注解1：我们已经在例子中说明，知道了$f''(x_0)=0$不能保证$x=x_0$是拐点。我们还必须知道图像在$x_0$两侧的凹凸情况。考虑一个最简单的函数$y=f(x)=x^4$(图5)。$f'(x)=4x^3,f''(x)=12x^2$，所以$x=0$处$f''(x)=0$。然而，$f''(x)$在$x=0$点的两侧均是正的，因此这个点对应的是极小值，不是拐点。函数$y=x^5-5x^4$给出了一个更复杂的类似情况。

图5

$$y'=5x^4-20x^3\quad y''=20x^3-60x^2=20x^2(x-3).$$
$y''=0$的根是$x=0,x=3$。然而，$y''$在$x=0$处没有改变符号，所有只有$x=3$是拐点。图像在该点左边是凸的，右边是凹的。

注解2：我们很容易做出函数$y=x^{1/3}=\sqrt[3]{x}$的图像(图6)，明显在$x=0$处有拐点。我们也可以通过求二阶导验证它

$$y'=\frac{1}{3}x^{-2/3}$$
$$y''=-\frac{2}{9}x^{-5/3}=\frac{-2}{9\sqrt[3]{x^5}}$$
所以如果$x<0$，$y''$为正，$x>0$，$y''$为负。然而，$y''$在$x=0$处不存在。为了找到拐点，我们不仅要考虑$y''=0$，还得考虑$y''$不存在的情况。

图6

注解3：有一个二阶导测试，也就是用二阶导来确定驻点是否为极大或极小值(非正式的用图7 来说明：如果$f'(x_0)=0$且$f''(x_0)<0$，那么它是极大值(左图)；如果$f'(x_0)=0$且$f''(x_0)>0$，那么它是极小值(右图))。有时候这个测试非常有用，但是经常被夸大了。之后我们会看到许多应用来确定极大极小值，没有哪种测试是万能的。

图7