函数的凹凸性与拐点习题

前置知识：函数的凹凸性与拐点

例题

求$y=x{e}^x-e^x+1$的单调性，极值，凹凸性及拐点。

解：
\qquad 令$f(x)=x{e}^x-e^x+1$

\qquad 定义域为$(-\infty ,+\infty )$，$f(x)=x{e}^x-e^x+1,f^{\prime }(x)=x{e}^x+e^x-e^x=x{e}^x$

\qquad 可能的极值点：$x=0$

	$(-\infty ,0)$	$0$	$(0,+\infty )$
$f^{\prime }(x)$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\searrow$	极小	$\nearrow$

\qquad 单调递增区间：$(-\infty ,0]$，单调递减区间：$[0,+\infty )$，极小值为$f(0)=0$

$f^{\prime \prime }(x)=e^x+x{e}^x=(x+1)e^x$

\qquad 可能的拐点：$x=-1$

	$(-\infty ,-1)$	$-1$	$(-1,+\infty )$
$f^{\prime \prime }(x)$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	凸	拐点	凹

\qquad 凸区间：$(-\infty ,-1]$，凹区间：$[-1,+\infty )$，拐点：$(-1,1-2e^{-1})$