随机过程

最新推荐文章于 2025-07-19 03:49:30 发布

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本文深入探讨随机过程，涵盖概率论基础，如随机变量函数的概率密度和基本公式，以及随机过程的一维和二维概率分布、数字特征、广义平稳随机过程、各态历经过程。此外，还讨论了随机过程的联合分布、互相关函数和功率谱等概念。

随机过程

1 概率论基础

（1）随机变量函数的概率密度

对于任意的单调函数 $g (x)$ ,都有
$f_Y(y)=f_X(x)|J|_{x=g^{-1}(y)} (J=\frac{dx}{dy})$
对于非单调函数，可以根据单调性分段。

例: 考虑一个平方律检波的例子，假定输入输出的关系为
$Y=bX^2$
求Y的概率密度
解: 由于 $Y$ 的值不可能为负，故 $y < 0$ 时， $f_Y(y)=0$ 。若 $y > 0$ ，这是对于任意的 $y$ ，有两个 $x$ 值与之对应，即
$x1=y/b,x2=−y/bx_{1}=\sqrt{y / b}, \quad x_{2}=-\sqrt{y / b}$ \ 由于 $J1=dx1dy=12by,J2=dx2dy=−12byJ_{1}=\frac{\mathrm{d} x_{1}}{\mathrm{d} y}=\frac{1}{2 \sqrt{b y}}, J_{2}=\frac{\mathrm{d} x_{2}}{\mathrm{d} y}=-\frac{1}{2 \sqrt{b y}}$ ，因此
$f_{Y}(y)=\frac{1}{2 \sqrt{b y}}\left[f_{x}(\sqrt{y / b})+f_{X}(-\sqrt{y / b})\right] \quad(y>0)$

（2）基本公式

$EX=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$
$DX=E(X-EX)=EX^2-E^2X$
$\operatorname{Cov}(X, Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E[X Y]-EXEY$
$\rho_{X Y}=\frac{\operatorna$