文章展示了如何使用定积分方法来计算含有无穷项的序列极限，具体包括两个习题：一是计算分数1/3幂次之和除以n的4/3次方的极限，答案是3/4；二是求解1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(n+n)的极限，结果是自然对数ln2。
前置知识：定积分求含无穷大的式子的和
习题1
计算limn→+∞113+213+⋯+n13n43\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1^{\frac 13}+2^{\frac 13}+\cdots+n^{\frac13}}{n^{\frac 43}}n→+∞limn34131+231+⋯+n31
解：
\qquad原式=limn→+∞1n∑i=1n(in)13=∫01x13dx=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^n(\dfrac in)^{\frac 13}=\int_0^1x^{\frac 13}dx=n→+∞limn1i=1∑n(ni)31=∫01x31dx
=34x43∣01=34\qquad\qquad =\dfrac 34x^{\frac 43}\bigg\vert_0^1=\dfrac 34=43x3401=43
习题2
计算limn→+∞(1n+1+1n+2+⋯+1n+n)\lim\limits_{n\to +\infty}(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots+\dfrac{1}{n+n})n→+∞lim(n+11+n+21+⋯+n+n1)
解：
\qquad原式=limn→+∞1n∑i=1n11+in=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{1+\frac in}=n→+∞limn1i=1∑n1+ni1
=∫12lnxdx=ln2\qquad\qquad =\int_1^2\ln xdx=\ln 2=∫12lnxdx=ln2
扫一扫
1万+
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
