文章介绍了如何运用黎曼积分的概念解决部分形如limn→+∞1n∑i=1^nai的极限问题。通过举例，详细展示了如何将这类问题转化为定积分进行计算，例如计算limn→+∞(n/(n^2+1)+n/(n^2+2^2)+...+n/(n^2+n^2))的过程，最终结果等于π/4，这等价于arctanx在0到1之间的积分。
前置知识
介绍
根据定积分的概念，可以得出
∫ a b f ( x ) d x = lim n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n f ( a + b − a n i ) \int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^{n}f(a+\dfrac{b-a}{n}i) ∫abf(x)dx=n→+∞limn1i=1∑nf(a+nb−ai)
那么，对于部分形如
lim n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n a i \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^na_i n→+∞limn1i=1∑nai
这类式子，就可以用定积分来求了。
例题
计算 lim n → + ∞ ( n n 2 + 1 + n n 2 + 2 2 + ⋯ + n n 2 + n 2 ) \lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{n}{n^2+1}+\dfrac{n}{n^2+2^2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2+n^2}) n→+∞lim(n2+1n+n2+22n+⋯+n2+n2n)
解：
\qquad
原式
=
lim
n
→
+
∞
1
n
∑
i
=
1
n
1
1
+
(
i
n
)
2
=
∫
0
1
1
1
+
x
2
d
x
=
arctan
x
∣
0
1
=
π
4
=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{1+(\frac in)^2}=\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x\bigg\vert_0^1=\dfrac{\pi}{4}
=n→+∞limn1i=1∑n1+(ni)21=∫011+x21dx=arctanx
01=4π
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