菲尔兹奖得主广中平祐：“微分”是抽象化，“积分”是具体化

turingbooks

于 2025-02-06 11:31:44 发布

阅读量225

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：人工智能

原文链接：https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MjM5Njc0MjIwMA==&mid=2649830195&idx=1&sn=80719fb6c71686ef8c6508e72b9f2aa0&chksm=bfdc6a60fd4a0fda2faf60ba12badd07de24db2a76ff786b02d11b77bbf53fca4ab3981322f3&scene=126&sessionid=0

菲尔兹奖、日本学士院奖、日本政府文化勋章得主，日本数学大家——广中平祐讲述独特的“可变思考”法，呈现数学家理解“复杂”与“变化”的巧妙视角。

创造与灵感的心血力作，用数学探索创造性思维的本质与根源。

本书为日本数学家、菲尔兹奖得主广中平祐的思想文集。书中以“创造性思维”为线索，讲述了作者在数学研究中总结出的思考模式——“可变思考”，并在问题的发现、提出、整理、转换等方面做了具体阐述，让读者了解数学家独特的多维度思考方法。

同时，本书还对日本数学教育中的问题做了分析，提出了学校教育、亲子教育中培养创造性思维的原则与方法。本书是广中平祐先生对自己研究方法的系统性总结，是了解其思想以及日本数学研究方法的珍贵资料。

来源 | 《可变思考：数学与创造性思维》

作者 | [日]广中平祐

译者 | 佟凡

“表现”抽象化的事物，让他人“理解”

在数学领域，过于抽象的概念同样很难理解，就算逻辑上是正确的也无法理解。这时，只有通过具体问题表现出来，才能真正让他人理解。

比如我已经在上文中介绍过数学领域有“群论”这个分支。从“群”这一元素的集合中选出元素，考察它们之间存在怎样的关系，能够如何组合，这便是“结构”。但是这种抽象的定义很难理解。

那么让我们尝试将抽象群用选择出来的具体空间运动来表现，比如平面旋转。这时，抽象群就成了通过选择得到的具体运动群，得到了具体的表现。

数学中的表现是指将一个概念用具体清晰的情况重新表达。可以说我们数学家的工作，就是在重复“抽象→表现→抽象→表现”这一脑力劳动过程。

A 除以 B，会产生既不是 A 也不是 B 的另一个概念

“微分”也是象征化的方法之一，是一种“通过不断舍弃各种具体条件，最终得出一项定律”的数学语言。

举例来说，假设从地点 A 出发沿着某条路线前进，到达地点B 需要花费一定的时间。这时必须描述很多条件，比如通过的路线是什么样的，距离是多少，最终花费了多少分钟……

将这些条件进行微分后就得到了“速度”的概念。也就是说，用距离除以时间得到的是速度。当我们说“以某速度前进”时，就不需要一一解释 A 地点、B 地点的位置和每一段路程花费的时间，对于了解两个地点和路径的人，只需要说出速度就够了。接下来，沿着不同的路径从 C 到 D 时，“速度”概念是共通的，只需要给出“用和之前同样的速度”，或者“速度是之前的 2倍”等条件，就能计算出需要花费的时间。

有了速度的概念，只要知道到达 B 地点的时间，就能计算出应该何时从 A 地点出发，像这样将其应用在具体问题中。“速度”概念舍弃了出发点、终点和两地距离等要素。舍弃这些要素，就可以找到适用于各种情况的概念。这就是“微分的思考方法”。

当具体条件消失时，定律就出现了

再举一个“重力”的概念。所有物体都受到固定的向下的力，这是普遍的概念，这里的“重力”可以换成“加速度”，这同样是“微分”思维。

重力的性质是它作用于一切物体。无论将物体朝正下方扔出还是斜着抛出、向上抛出，物体都会产生方向朝下、数值固定的加速度，最终落向地面。适用于所有场景、与投掷方向等具体条件无关的，就是“物体受到向下的力”。

将微分作为一项计算技巧学习的人应该知道，“常数”的微分结果为零。一次函数自变量进行两次微分计算后为零，图像为抛物线的二次函数进行三次微分后同样为零。

微分就是对方程式进行适当的变形，重复多次后，各种常数会不断变成零消失。各种常数就是“具体条件”，当它们变成零后，最终剩下的就是具备普遍性的定律。

要想得到速度，需要用距离除以时间，但速度既不是时间也不是距离，而是另一个完全不同的概念。因此可以说，“微分”就是通过除法运算进行的抽象化操作。

积分是实践过程中的具体操作

那么“积分”是什么呢？它是与微分相反，通过乘法运算得出的概念。

举一个更普遍的例子。通常情况下，优质的教育能够培养出优质的人才，这是微分的思考方法。将这个思考具体化，比如“为了进入东大，要考入滩高”“以这个人的能力要想考入滩高，需要在考试前几个月按照一定顺序学习以下内容”，会产生以上这样具体的思路。这就是积分的思考方法。

像松下幸之助这样了不起的人物，尽管他没有接受过完整的学校教育，却拥有比毕业于东京大学的人更加完整、自洽的人生观和世界观。也可以说他在从事商业活动的过程中，接受了优秀的社会教育。

用微分的思考方法来解释，可以得出以下结论，即无论有没有上过好学校，优秀的教育都能培养出优秀的人才。用积分的思考方法来解释，则会拘泥于具体方式，比如要上东京大学、滩高等一流高中，这样就会想不到其他路径。

当然在实际行动中，只有大原则往往派不上用场，必须用积分的思考方法提出各种条件，落实到具体行动中。不过，如果有以东京大学为目标这个笼统的结论能激励大家努力学习，产生较好的效果，也不失为一种正确的方式。

首先进行微分，然后进行积分

听到教育家和评论家标榜“教育应该如何如何”的论调时，家长就算心里理解和接受，在实际套用在自己的孩子身上时，必须用积分的思考方法将理论分解为具体思路。如果家长没有做积分的能力，就只能佩服别人提出的教育理论。也就是说，微分是将事物抽象化，发现大原则；积分则是在实践过程中将事物具体化。这两种思考方法在重要性上不分上下，是需要同时具备的两种能力。

如果说教育家、评论家的工作是微分，那么实际接触孩子的老师和家庭就需要完成积分的工作。如果不理解微分（原则），应对变化的能力就会退化。父母往往容易只关注积分，将具体措施误以为是大原则，这会导致他们在失败时无法做出改变，在不知不觉中逐渐积累偏见和错觉。

当我们面对能够影响未来的决定时，首先进行微分（抽象化）思考，然后进行积分（具体化）思考，这样就能厘清思路。

推荐阅读