四次方程S4群的伽罗瓦分解

papaofdoudou

已于 2025-05-20 09:19:06 修改

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分类专栏：数学文章标签： linux 算法

于 2025-03-09 21:37:30 首次发布

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a,b,c,d是一般四次方程的四个根，对应S4的伽罗瓦分解如下图所示：

24个置换中有六个值，这六个值恰好对应S3，生成元是翻转和旋转b,c,d,如下图所示：

也就是说，S4群对克莱因四元群V4的商群，恰好是S3群，V4群可以看成是C2群的直积，可解，S3群可解，所以四次方程一定可解，其可解群列是：

$S4\triangleright S3\triangleright C3\triangleright V4\triangleright C2\triangleright e$

所以四次方程扩域2*3*2*2=24次=4！，即可得到根域，deepseek得到的答案：

预解式的选取并不是唯一的，比如知道S4有一个D4子群，它是8阶的，我们可以根据D4去设计在8种置换下，其值保持不变的有理式，比如有理式：

$y_1=(x_1+x_2)(x_3+x_4) \\ \\ y_2=(x_1+x_3)(x_2+x_4) \\ \\ y_3 = (x_1+x_4)(x_2+x_3)$

在S4的24种置换下只有三个值，这样，方程

$(x-y_1)(x-y_2)(x-y_3)=0$

必然可以降阶为3次方程（y1,y2,y3是D4群的置换结果，牛顿定理保证了其可以转化为基本对陈多项式，从而可以用系数域表示），利用三次方程求根公式得到 $y_1,y_2,y_3$ .

回过头来反思一下，为何伽罗瓦群公里第三条要求群运算是封闭的，大概就是因为只有满足封闭性的条件下，任何群作用的组合都是群内的元素，我们才能找到（穷尽）这样一系列关于根的有理式，无论在怎样的置换下，得到的值总是固定的，实现根式扩张。

ds的回答，保持多项式 $(x_1+x_2)(x_3+x_4)$ 不变的群确实是D4群：

cayley图表示，克莱因四元群是D4群的一个正规子群，子群和陪集构成了一个十字交叉的形状。

实际上，S4群有三个D4子群，虽然它们不是正规的，但是可以利用D4构造根的有理式，从而得到以有理式为根的拉格朗日预解式，这三个D4群分别是：

显然D4群并非S4的正规子群，因为正规子群要求 $gD4g^{-1}=D4,g\in S4$ ，若存在多个共轭子群，则单个子群不可能是正规的，就不可能出现上面三个D4子群了.

但是好像仍然能够用D4群进行中间扩域。四次方程的可解性由S₄的可解性保证（S₄的正规子群链为 $S4\triangleright S3\triangleright C3\triangleright V4\triangleright C2\triangleright e$ ）和D4无关，但貌似尽管D4非正规，但预解式的存在允许直接构造根式解，无需依赖D4的正规性，这里还不太明白，貌似似乎是比伽罗瓦大定理更弱的一个条件。

解构A4

D4群并非是S4的正规子群，其实S4的可解性群列中不应该出现D4群的，不过S4确实有一个正规子群，它就是克莱因四元群V4，下图是在S4的凯莱图中凸显V4正规子群（红色实心被矩形框住的四个元素）：

对称群 S4 的正规子群包含克莱因四元群 V4，且商群 S4/V4 同构于 S3,也就是S4可以和S3之间构造一个满同态，同态的核是克莱因四元群V4：

根据同态基本定理：

所以：

下面尝试对S4进行分解，选择生成元：

V4：(0 1) ( 2 3), (0, 2)(1 3)

V4陪集之间：(0 1), (0 3 1)

看上去很乱，把它梳理一下实际上是这个样子：

将所有陪集按照V4中元素的布局对应关心重新排列（从单位元开始，按照顺时针方向回到单位元），得到上图的一个重布线：

虽然我们可以通过重新安排凯莱图的节点，使的箭头连接每个陪集的对应节点，但是这会改变这些陪集的布局，使用陪集内部的箭头和V4不一致，你可以让箭头保持和V4一致，也可以让节点布局保持和V4一致，但是这两点不能同时做到，这是由S4杂乱的结构决定的，是无法避免的。其实这说明了S4不是V4和S3的直积。

如果单独看重布线的规律，可以单独把陪集内部的箭头从凯莱图中抽离出来：

从上图可以看到，虽然每个陪集内的箭头的位置不同，但是在陪集内的作用方式是完全相同，凯莱图也相同。本质上，等价于三个箭头（两个实箭头，一个空箭头）在三个位置上的置换，构成的当然就是S3群：

定义水平位置h, 竖直位置v,和对角位置d,重布线的凯莱图如下图：

将上图缕顺后，重布线图和S3同构。

前面分析可以看到，S4群可以看成是3个D4群，或者或者6个V4群，为什么是这样呢，这实际上涉及到从怎样的角度看待立方体的对称性。

立方体的对称性

立方体有6个面，8个顶点，12条棱，空间中存在24种对称排列（为何是24种,因为如果你眼前有一个立方体，有24种改变正方体位置的操作方法，你闭上眼睛应用这些方法，再睁开眼睛觉察不到正方体的任何变化）。

如何从几何直观角度思考立方体的对称性呢？24的因子有2，4，6，8，12这几个，所以可以有多种对称观察的角度。

1.可以看成是3个D4群的对称

D4群的阶是8，如果把正方体的六个面的每两个对面看成一组，这一组的不变操作构成一个D4群，六个面一共可以分成3组，所以整个立方体的对称操作有3x8=24种。

2.可以看成是6个C4群的对称操作。

可以想象用三体中的武器二向簿作用在立方体上，立方体会被“啪”以下拍扁成正方形，不但如此，正方形所在的空间也在二向簿作用下成为一个二维空间，带来的改变是这个正方形无法执行翻转动作（这也就是和上面D4群的唯一区别，所以无法生成V4群，但可以生成C4， V4群是D4群的正规子群），这样这个正方形只能作C4四循环的动作（不能作V4，因为二维空间无法作翻转）。正方形一共六个面，每个面有C4中情况，所以正方形的对称一共有4x6=24种：