四次方程S4群的伽罗瓦分解和柏拉图正多面体

a,b,c,d是一般四次方程的四个根，对应S4的伽罗瓦分解如下图所示：

24个置换中有六个值，这六个值恰好对应S3，生成元是翻转和旋转b,c,d,如下图所示：

也就是说，S4群对克莱因四元群V4的商群，恰好是S3群，V4群可以看成是C2群的直积，可解，S3群可解，所以四次方程一定可解，其可解群列是：

其中A4作为连接S4和V4的中间域，将S3分解为2次C2扩域和3次C3扩域，由于S3是可解群，所以S4的可解群列可以忽略A4的桥梁作用，直接写作：

从可解群列可以猜测到四次方程根式解的形式，根式按照可解群列从左到右的依次进行，首先破坏最左侧的高阶对称性，其次是V4到C2的一次开放，之后是C2到e的另一次开方。所以，根域的形式为：

所以四次方程扩域2*3*2*2=24次=4！，即可得到根域，deepseek得到的答案：

预解式的选取并不是唯一的，比如知道S4有一个D4子群，它是8阶的，我们可以根据D4去设计在8种置换下，其值保持不变的有理式，比如有理式：

在S4的24种置换下只有三个值，这样，方程

必然可以降阶为3次方程（y1,y2,y3是D4群的置换结果，牛顿定理保证了其可以转化为基本对陈多项式，从而可以用系数域表示），利用三次方程求根公式得到.

回过头来反思一下，为何伽罗瓦群公里第三条要求群运算是封闭的，大概就是因为只有满足封闭性的条件下，任何群作用的组合都是群内的元素，我们才能找到（穷尽）这样一系列关于根的有理式，无论在怎样的置换下，得到的值总是固定的，实现根式扩张。

ds的回答，保持多项式不变的群确实是D4群：

cayley图表示，克莱因四元群是D4群的一个正规子群，子群和陪集构成了一个十字交叉的形状。

实际上，S4群有三个D4子群，虽然它们不是正规的，但是可以利用D4构造根的有理式，从而得到以有理式为根的拉格朗日预解式，这三个D4群分别是：

显然D4群并非S4的正规子群，因为正规子群要求，若存在多个共轭子群，则单个子群不可能是正规的，就不可能出现上面三个D4子群了.

但是好像仍然能够用D4群进行中间扩域。四次方程的可解性由S₄的可解性保证（S₄的正规子群链为 ）和D4无关，但貌似尽管D4非正规，但预解式的存在允许直接构造根式解，无需依赖D4的正规性，这里还不太明白，貌似似乎是比伽罗瓦大定理更弱的一个条件。

解构A4

D4群并非是S4的正规子群，其实S4的可解性群列中不应该出现D4群的，不过S4确实有一个正规子群，它就是克莱因四元群V4，下图是在S4的凯莱图中凸显V4正规子群（红色实心被矩形框住的四个元素）：

对称群 S4​ 的正规子群包含克莱因四元群 V4​，且商群 S4/V4​ 同构于 S3​,也就是S4可以和S3之间构造一个满同态，同态的核是克莱因四元群V4：

根据同态基本定理：

所以：

下面尝试对S4进行分解，选择生成元：

V4：(0 1) ( 2 3), (0, 2)(1 3)

V4陪集之间：(0 1), (0 3 1)

看上去很乱，把它梳理一下实际上是这个样子：

将所有陪集按照V4中元素的布局对应关心重新排列（从单位元开始，按照顺时针方向回到单位元），得到上图的一个重布线：

虽然我们可以通过重新安排凯莱图的节点，使的箭头连接每个陪集的对应节点，但是这会改变这些陪集的布局，使用陪集内部的箭头和V4不一致，你可以让箭头保持和V4一致，也可以让节点布局保持和V4一致，但是这两点不能同时做到，这是由S4杂乱的结构决定的，是无法避免的。其实这说明了S4不是V4和S3的直积。

如果单独看重布线的规律，可以单独把陪集内部的箭头从凯莱图中抽离出来：

从上图可以看到，虽然每个陪集内的箭头的位置不同，但是在陪集内的作用方式是完全相同，凯莱图也相同。本质上，等价于三个箭头（两个实箭头，一个空箭头）在三个位置上的置换，构成的当然就是S3群：

定义水平位置h, 竖直位置v,和对角位置d,重布线的凯莱图如下图：

将上图缕顺后，重布线图和S3同构。

前面分析可以看到，S4群可以看成是3个D4群，或者或者6个V4群，为什么是这样呢，这实际上涉及到从怎样的角度看待立方体的对称性。

立方体的对称性

立方体有6个面，8个顶点，12条棱，空间中存在24种对称排列（为何是24种,因为如果你眼前有一个立方体，有24种改变正方体位置的操作方法，你闭上眼睛应用这些方法，再睁开眼睛觉察不到正方体的任何变化）。

如何从几何直观角度思考立方体的对称性呢？24的因子有2，4，6，8，12这几个，所以可以有多种对称观察的角度。

1.可以看成是3个D4群的对称

D4群的阶是8，如果把正方体的六个面的每两个对面看成一组，这一组的不变操作构成一个D4群，六个面一共可以分成3组，所以整个立方体的对称操作有3x8=24种。

2.可以看成是6个C4群的对称操作。

可以想象用三体中的武器二向簿作用在立方体上，立方体会被“啪”以下拍扁成正方形，不但如此，正方形所在的空间也在二向簿作用下成为一个二维空间，带来的改变是这个正方形无法执行翻转动作（这也就是和上面D4群的唯一区别，所以无法生成V4群，但可以生成C4， V4群是D4群的正规子群），这样这个正方形只能作C4四循环的动作（不能作V4，因为二维空间无法作翻转）。正方形一共六个面，每个面有C4中情况，所以正方形的对称一共有4x6=24种：

D4群除了C4之外，其他的四阶群都是V4群，并且所有V4都是正规的。

3.可以看作8个C3群

以正方体的体对角线为轴，把它的三个面看作是等边三角形的三个顶点，那么每次旋转120度后和原来占据的空间重合，每个点可以转三次（三个对称方式），构成C3群。8个顶点每个都可以这样操作三次，所以一共有8*3=24种对称方式。

4.可以看作4个S3群

还是以上图为例说明，如果我们牺牲一半的顶点（每个体对角线放弃一个顶点），牺牲掉的C3群和对端的C3群看成对面端点的C3群的一个翻转，C3和翻转的C3恰好构成一个S3群，一共有6阶，四个顶点，所以立方体的对称方式有6*4=24.

5.可以看作12个C2群

这个就比较简单了，我们用一个“一向簿”将立方体按照棱的方向拍成一维，这样两个端点构成一个C2群，立方体一共有12个棱，所以一共有12*2=24种对称。

说白了就是空间中固定一个棱的位置，让12条棱依次卡位到这个位置，能够遍历立方体的所有对称方式。

柏拉图立方体的对称性规律

参考上面第五步，貌似任何一个正多面体的对称阶数都是其梭数的2倍，比如正二十面体和正十二面体的对称群都是A5，有60阶，正好是其梭数30的2倍，正八面体和正六面体有同样的规律。

立方体和正八面体是对偶正多面体，特点是梭数不变，顶点数和面数互相交换。正十二面体和正二十面体同样是对偶正多面体。根据欧拉定理，三维凸多面体满足 V+F-E=2,根据公式，V和F满足对称性，交换V和F，构成了互相对偶的正多面体。

图中的全对称包含旋转对陈和反射对称，反射对称对于正多面体的意思是说正多面体存在穿过其体本身的对称面，比如对正四面体来说，反射平面就是通过一条边和对边的中点的平面。

正多面体对偶性定义

正多面体（柏拉图固体）的对偶性是一种深刻的几何关系，它通过互换顶点与面的角色来定义。这种关系揭示了五种正多面体之间的内在对称性，形成三组对偶对和一个自对偶结构。

对偶性的定义

设多面体 P 有 V 个顶点、E 条棱、F 个面。其对偶多面体 P∗ 满足如下对应：

1. 顶点与面对应
   1. P 的每个面对应 P∗ 的一个顶点。
   2. P 的每个顶点对应 P∗ 的一个面。
2. 棱不变
   1. P 的每条棱对应 P∗ 的一条棱（数量相同）。
3. 构造方法
   • 取 P 的每个面的几何中心作为 P∗ 的顶点
   • 若 P 的两个面相邻（共享一条棱），则连接它们在 P∗ 中对应的顶点，形成 P∗ 的棱

4. 对偶的对偶

   1. (P∗)∗ 与 P 相似（同构），即对偶操作两次回到自身

5. 互为对偶的多面体具有相同的对称群。

对偶多面体可通过连接原多面体每个面的中心点获得。例如在立方体中，连接6个正方形面的中心即形成正八面体，柏拉图多面体的对偶关系总结如下图：

对偶操作的核心规则

• 顶点↔面互换：原多面体的每个面对应对偶多面体的一个顶点

• 棱守恒：对偶前后棱的数量不变

• 欧拉公式保持：V−E+F=2 恒成立

• 对称性继承：对偶多面体保持相同的旋转对称性

           ┌───────────────┐
           │ 原多面体      │
           │ • 顶点: V     │
           │ • 面: F       │
           │ • 棱: E       │
           └───────┬───────┘
                   │ 对偶操作
                   │ 互换 V↔F
                   ▼
           ┌───────────────┐
           │ 对偶多面体    │
           │ • 顶点: F     │
           │ • 面: V       │
           │ • 棱: E       │
           └───────────────┘

正四面体由于面数和棱数相同，根据图论中的欧拉定理，V+F-E=2，V和F转换是自对称，最后总结如下：

互为对偶的多面体，具有完全相同的对称轴和对称群。

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结束