NOIP模拟（20171024）T3 数学

求满足方程$a^x\equiv x^a\pmod{2^n}$ 的解的个数
$n\leq 30,a\leq 10^9$
询问组数$T\leq1000$
引理一：若$a,b$均为奇数，且$a^{2k+1}\equiv b^{2k+1}\pmod{2^n}$，则$a\equiv b\pmod{2^n}$
证明：
$\because a^{2k+1}\equiv b^{2k+1}\pmod{2^n}$
$\therefore a^{2k+1} - b^{2k+1}\equiv0\pmod{2^n}$
$\therefore (a-b)(a^{2k}+a^{2k-1}b+a^{2k-2}b^{2}+\cdots+b^{2k})\equiv0\pmod{2^n}$
由于$a^{2k}+a^{2k-1}b+a^{2k-2}b^{2}+\cdots+b^{2k}$ 为奇数项奇数之和，为奇数
$a^{2k}+a^{2k-1}b+a^{2k-2}b^{2}+\cdots+b^{2k}\not\equiv0\pmod{2^n}$
$\therefore a-b\equiv0\pmod{2^n}$
$\therefore a \equiv b\pmod{2^n}$

引理二：若$a$为奇数，$n$为大于2的正整数，则$a^{2^{n-2}}\equiv 1\pmod{2^n}$
证明：
当$n=3$时，显然成立
当$n=k$时成立，即$a^{2^{k-2}}\equiv 1\pmod{2^k}$
则$a^{2^{k-2}}\equiv 1或2^k+1\pmod{2^{k+1}}$
又$\because 1^2\equiv1\pmod{2^{k+1}},(2^k+1)^2\equiv2^{2k}+2\times{2^k}+1 \equiv1\pmod{2^{k+1}}$
$\therefore a^{2^{k-1}}\equiv (a^{2^{k-2}})^2\equiv 1\pmod{2^{k+1}}$
故当$n=k+1$时也成立

引理三：当$a$为奇数时，解在模意义下唯一，为$a\ mod\ 2^n$
证明：
$\because \ a^x\equiv x^a\pmod{2^n}$
$\begin{align}\therefore\ &a^x\equiv x^a\pmod{2^{n-1}}\\ &a^x\equiv x^a\pmod{2^{n-2}}\\ &\cdots\\ &a^x\equiv x^a\pmod{2}\\ \end{align}$
$\therefore a,x均为奇数$
$\because 当a为奇数时，a^2\equiv 1 \pmod {4},a^2\equiv 1 \pmod {8}$
$\therefore a^x\equiv a \pmod {4},a^x\equiv a \pmod {8}$
$\quad x^a\equiv x \pmod {4},x^a\equiv x \pmod {8}$
$\therefore a\equiv x\pmod{4},a\equiv x\pmod{8}$

下证当$m=1,2,3\dots,k(3\leq k<n)$ 时均有 $a\equiv x\pmod{2^m}$
则当$m=k+1$时，$a\equiv x\pmod{2^m}$ 亦成立
由引理二得$a^{2^{k-1}}\equiv 1\pmod{2^{k+1}}$
设$a\equiv x\equiv c\pmod{2^{k-1}}$
$\therefore a^c\equiv a^x\equiv x^a\equiv x^c\pmod{2^{k+1}}$
由$\because a,x$ 均为奇数
$\therefore c$ 为奇数
由引理一得$a\equiv x\pmod{2^{k+1}}$
故当$m=k+1$时，$a\equiv x\pmod{2^m}$ 成立

故$x\equiv a\pmod{2^n}$

（考场上只会打表找规律的我对此证明表示，“呵呵”）

好那么当$a$为奇数时输出1即可
当$a$为偶数时易得$a^{x}\equiv0\pmod{2^{30}}(x\geq30)$
显然对于任意$n\leq30$，均有$a^{x}\equiv0\pmod{2^{n}}(x\geq30)$
那么对于小于30的$x$ 我们暴力找即可
对于大于30的$x$,必有$x^{a}\equiv0\pmod{2^{n}}$
$x^{a}\equiv0\pmod{2^{n}}$ 的充要条件为 $x\equiv0\pmod{2^{\lceil{\frac{n}{a}}\rceil}}$
暴力统计即可
代码

#include<bits/stdc++.h>
#define LEN
using namespace std;
inline long long getint(){
    long long x=0,p=1;
    char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){
        if(c=='-')p=-1;
        c=getchar();
    }
    while(isdigit(c)){
        x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
        c=getchar();
    }
    return x*p;
}
inline void putint(long long x){
    if(x<0){
        x=-x;
        putchar('-');
    }
    static long long buf[22];
    long long tot=0;
    do{
        buf[tot++]=x%10;
        x/=10;
    }while(x);
    while(tot)putchar(buf[--tot]+'0');
}
inline long long ksm(long long a,long long b,long long c){
    long long ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*a%c;
        b>>=1;
        a=a*a%c;
    }
    return ans;
}
inline void work(long long a,long long n){
    if(a%2==1){
        putint(1),putchar('\n');
        return;
    }
    long long mod=1<<n;
    long long ans=0;
    for(long long i=1;i<=30;++i){
        if(ksm(a,i,mod)==ksm(i,a,mod))++ans;
    }
    long long need=(n-1)/a+1,n2=1<<need;
    ans+=mod/n2-30/n2;
    putint(ans),putchar('\n');
}
int main(){
    long long t=getint();
    while(t--){
        long long a=getint(),n=getint();
        work(a,n);
    }
    return 0;
}