[NOIP模拟] Math

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    2017. 10. 24 NOIP模拟 T3
    没有什么时间了。不能停下。I’m always there, carry you.

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Solution :

    这道题说实话，没看出来，那么我开始讲了。
    初步审题我们可以知道我们需要分奇偶来讨论，先来说一说奇数的情况 ：

        如果 a 是奇数，那么 b 一定是奇数， 下正 $b \equiv a\ (mod\ 2 ^ n)$ :
            奇数可以表示为 ： $2n + 1\quad(n \in Z)$  那么一个奇数的平方($4n ^ 2 + 4n + 1$)模 8 余 1，
            故 $a ^ b = a \ (mod\ 8)$, $b ^ a = b \ (mod\ 8)$ ，故 $a = b \ (mod\ 8)$
            由于奇数的四次方模 16 余 1， 故 $a ^ b = a ^ {b \% 4} \ (mod\ 16)$, $b ^ a = b ^{a \% 4}\ (mod\ 16)$
            由于 $b\ \% \ 4 = a\ \%\ 4$, 故 $a = b\ (mod\ 16)$
            以此类推，得 $b = a\ (mod\ 2 ^ n)$, 因为 $1 \le b \le 2 ^n$，所以有唯一解。(当然打表也可以看出来)

    接下来讲一讲偶数的情况 ：

        如果 a 为偶数， 那么 b 也为偶数。
            若 $b \ge n$, 我们可以将 b 表示为 $2 ^ k * c$，c 为奇数，那么一定有 $a ^ b = 0 \ (mod\ 2 ^ n)$,
            $2 ^ k * c = 0\ (mod\ 2 ^ n)$, 那么 $b ^ a = (2 ^ k * c) ^ a = 2 ^ {ka} * c^ a$， 因为 $c ^ a\ mod\ 2 ^ n \neq 0$ 所以
            $2 ^ {ka}\ mod\ 2 ^ n = 0$, 那么有 $ka \ge n$, $k \ge \frac{n}{a}$那么我们需要求出 $2 ^{\frac{n}{a}}$ 的倍数就好了。
            那么对于d < n 时， 直接爆力就可以了。

Code :

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;

inline int read() {
    int i = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) {
        if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();
    }
    while(isdigit(ch)) {
        i = (i << 3) + (i << 1) + ch - '0'; ch = getchar();
    }
    return i * f;
}

const int MAXN = 505;
const int MAXM = (1 << 8) - 1;
const int MAX = MAXM + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
int dp[MAXN][MAX], num[MAXN], exist[MAXN];
int n, k, prime[8] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};
vector<int> g[MAXN]; 

inline void init() {
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        int now = i; exist[i] = 1;
        for(int j = 0; j < 8; ++j) 
            if(now % (prime[j] * prime[j]) == 0) {
                exist[i] = 0;
                break;
            }
            else if(now % prime[j] == 0) now /= prime[j], num[i] |= (1 << j);
        if(exist[i]) {
            if(now == 1) g[i].push_back(i);
            else g[now].push_back(i);
        }
    }
}

inline void add(int &x, int t) {
    x += t, (x >= mod) ? x -= mod : 0;
}

inline void solve() {
        n = read(), k = read();
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(int i = 1; i <= n; ++i) g[i].clear();
        init();
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            if(exist[i] && g[i].size() != 0) {
                int temp[MAXN];
                for(int j = g[i].size() - 1; j >= 0; --j)
                    temp[j] = num[g[i][j]];
                for(int l = k - 1; l >= 0; --l)
                    for(int j = g[i].size() - 1; j >= 0; --j)
                        for(int s = (MAXM ^ temp[j]), t = s ;; s = ((s - 1) & t)) {
                            add(dp[l + 1][s | temp[j]], dp[l][s]);
                            if(s == 0) break;
                        }
            }
        int ans = 0;
        for(int i = 1; i <= k; ++i)
            for(int j = 0; j <= MAXM; ++j)
                add(ans, dp[i][j]);
        cout<<ans<<'\n';    
}
int main() {
    int t = read();
    while(t--) {
        solve();
    }
}