二分图匹配

最新推荐文章于 2022-09-09 14:38:01 发布

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分类专栏： ======图论====== 二分图匹配文章标签：匈牙利算法二分图匹配 Dinic 二分图

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二分图匹配

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本文介绍二分图最大匹配的概念，并详细解释了匈牙利算法的实现原理及过程。通过一个具体的例子——BZOJ1433问题，展示了如何使用匈牙利算法解决实际问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

最大匹配

二分图最大匹配，简单地说就是给你两个集合，X和Y，然后X中的元素和Y中的元素有边相连，一条边能匹配仅当两端的节点都没有匹配过，求最多能匹配多少边。

匈牙利算法

可以用网络流算法来用解决（Dinic时间复杂度好像比匈牙利高？貌似是的，只有 $O(n^{1/2}m)$ ），不过这里我们一定要介绍匈牙利算法（你要用Dinic也行）

对于一个X集合中的点，先随机找一个根它有边的在Y集中的节点，如果这个节点还没有被其他某个X集中的节点匹配，那么就好了，直接匹配上去，如果匹配不到，那就给当前匹配到这个节点的节点重新安排一个节点，如果安排好了，那么这个节点就空出来了，此时X集合中的点就可以吧这个点匹配了。如果无论如何都不能挪出一个空位的话，那么只好不匹配了。

道理好像蛮简单的。事实上也正是如此

复杂度：

时间：O（ne）；空间：O（e）；（邻接表）

模板题

BZOJ 1433

每个人和可以睡的床位连接，OK。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int tst,n,m,tot,ans,who[105],son[505],nxt[505],lnk[105];
bool mp[105][105],vsa[105],vsb[105],vs[105];
void _add(int x,int y){
    son[++tot]=y; nxt[tot]=lnk[x]; lnk[x]=tot;
}
bool _find(int x){
    if (vs[x]) return false; vs[x]=true;
    for (int j=lnk[x];j;j=nxt[j])
        if (!who[son[j]]||_find(who[son[j]])){
            who[son[j]]=x;
            return true;
        }
    return false;
}
int main()
{
    freopen("dormitory.in","r",stdin);
    freopen("dormitory.out","w",stdout);
    scanf("%d",&tst);
    while (tst--){
        scanf("%d",&n); tot=ans=0; m=n;
        memset(lnk,0,sizeof(lnk));
        memset(nxt,0,sizeof(nxt));
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&vsa[i]);
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&vsb[i]);
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&mp[i][j]);
        for (int i=1;i<=n;i++)
            if (!vsa[i]){
                for (int j=1;j<=n;j++) if (mp[i][j]&&vsa[j]) _add(i,j+n);
            }else if (!vsb[i]){
                for (int j=1;j<=n;j++) if (mp[i][j]&&vsa[j]) _add(i,j+n);
                _add(i,i+n);
            }else m--;
        memset(who,0,sizeof(who));
        for (int i=1;i<=n;i++){
            memset(vs,0,sizeof(vs));
            ans+=_find(i);
        }
        if (ans==m) printf("^_^\n"); else printf("T_T\n");
    }
    return 0;
}