hdu2973威尔逊定理

本文介绍了一个简单的威尔逊定理实现,并通过一个算法来计算特定范围内素数的数量。该算法首先使用威尔逊定理判断素数,然后统计特定间隔内素数的个数。
看起来很吓人,其实就一个威尔逊定理
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
//const ll mod=1e9+7;
bool pri[3000036];int s[1000036];
int main()
{
    for(int i=0;i<3000010;i++)
        pri[i]=true;
    for(int i=2;i*i<3000010;i++)
        if(pri[i])
            for(int j=i*i;j<3000010;j+=i)
                pri[j]=false;
    s[1]=0;
    for(int i=12,j=2;i<=3000010;i+=3,j++)
    {
        if(pri[i+1])
            s[j]=s[j-1]+1;
        else
            s[j]=s[j-1];
    }
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",s[n]);
    }
}

在洛谷网站上,有一些算法题涉及应用威尔逊定理,尤其在数论与素数判断相关的题目中。以下是一些典型的应用场景和题目示例: ### 三、威尔逊定理在洛谷上的相关题目 #### 1. **P5091 【模板】扩展欧拉定理** 该题虽然主要考察的是欧拉定理的扩展形式,但在某些解法中结合了阶乘模运算的性质,例如利用威尔逊定理处理 $ (p-1)! \mod p $ 的结果为 $ p - 1 $,从而优化某些组合数模素数的计算过程。 #### 2. **HDU 2973 YAPTCHA(可参考洛谷类似变种)** 这是一道典型的基于威尔逊定理的数学推导题。题目要求计算如下表达式: $$ \sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac{(3k+7-1)!+1}{3k+7}-\left\lfloor\frac{(3k+7-1)!}{3k+7}\right\rfloor\right\rfloor $$ 通过令 $ x = 3k + 7 $,可以将原式转化为: $$ \sum_{k=1}^{n}\left\lfloor\frac{(x-1)!+1}{x}-\left\lfloor\frac{(x-1)!}{x}\right\rfloor\right\rfloor $$ 根据威尔逊定理,当 $ x $ 是素数时,$ (x-1)! \equiv -1 \mod x $,即 $ (x-1)! + 1 $ 能被 $ x $ 整除,此时上述表达式的值为 1;若 $ x $ 不是素数,则值为 0。因此该问题实质上是统计满足条件的素数个数[^1]。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; typedef long long LL; const int N = 1000001; const int mx = 3000008; int s[N], p[N], vis[mx], t, n; void get_prime() { for (LL i = 2; i < mx; ++i) if (!vis[i]) { if ((i - 7) % 3 == 0) p[(i - 7) / 3] = 1; for (LL j = i * i; j < mx; j += i) vis[j] = 1; } } int main() { get_prime(); for (int i = 2; i < N; ++i) s[i] = s[i - 1] + p[i]; scanf("%d", &t); while (t--) { scanf("%d", &n); printf("%d\n", s[n]); } } ``` #### 3. **【模板】线性筛素数(P3383)** 虽然此题主要考察的是素数筛法,但其输出结果可用于验证威尔逊定理的正确性。例如,对于每个筛出的素数 $ p $,可以验证 $ (p-1)! + 1 $ 是否能被 $ p $ 整除。 --- ### 四、实际应用与编程技巧 在解决上述类型的问题时,通常会遇到大数阶乘取模的问题。由于直接计算阶乘容易溢出,因此需要借助模逆元、分块预处理等技巧进行优化。例如,在模素数 $ p $ 情况下,可以预先计算阶乘模 $ p $,并结合费马小定理或扩展欧几里得算法求逆元,以高效实现组合数计算。 ---
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