18、控制理论中的数学基础与方法

控制理论中的数学基础与方法

在控制理论领域，数学基础和各种控制方法起着至关重要的作用。以下将详细介绍矩阵指数函数、正定矩阵、矩阵秩等数学概念，以及经典控制理论和现代控制理论中的相关内容。

1. 数学基础

1.1 矩阵指数函数的定义与微积分

矩阵指数函数定义为：
[e^{At} = I + At + \frac{1}{2!}A^2t^2 + \frac{1}{3!}A^3t^3 + \cdots + \frac{1}{n!}A^nt^n + \cdots]
其时间导数与标量指数函数的时间导数形式相同：
[\frac{d}{dt}e^{At} = A + 2\frac{1}{2!}A^2t + 3\frac{1}{3!}A^3t^2 + \cdots + n\frac{1}{n!}A^nt^{n - 1} + \cdots = Ae^{At}]
积分形式为：
[\int_{0}^{t}e^{At} dt = \left[It + \frac{1}{2!}At^2 + \cdots + \frac{1}{(n + 1)!}A^nt^{n + 1} + \cdots\right]_0^t = A^{-1}(e^{At} - I)]
不过，此积分仅在矩阵 (A) 为正则矩阵时成立。矩阵指数函数在现代控制理论中应用广泛，其微积分常用于引入数字控制。

1.2 正定矩阵

若对称矩阵 (A \in R^{n×n}) 对于向量 (x \in R^n) 且 (x \neq 0) 具有二次型 (x^TAx > 0)，则 (A) 为正定矩阵，记作 (A > 0)。(A > 0) 的