留数定理

定理

假设U复平面上的一个单连通开子集a_1, \cdots, a_n是复平面上有限个点,f是定义在U\setminus{a_1, \cdots, a_n}全纯函数。如果\gamma是一条把a_1, \cdots, a_n包围起来的可求长曲线,但不经过任何一个a_k,并且其起点与终点重合,那么:

\oint_\gamma f(z)\, dz =2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, a_k) \operatorname{Res}( f, a_k ).

如果γ是若尔当曲线,那么I(γ, ak) = 1,因此:

\oint_\gamma f(z)\, dz =2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}( f, a_k ).

在这里,Res(fak)表示f在点ak留数,I(γ, ak)表示γ关于点ak卷绕数。卷绕数是一个整数,它描述了曲线γ绕过点ak的次数。如果γ依逆时针方向绕着ak移动,卷绕数就是一个正数,如果γ根本不绕过ak,卷绕数就是零。

例子

以下的积分

\int_{-\infty}^\infty {e^{itx} \over x^2+1}\,dx
积分路径

在计算柯西分布特征函数时会出现,用初等的微积分是不可能把它计算出来的。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限,积分路径为沿着实直线从−aa,然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1,使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为:

\int_C {f(z)}\,dz =\int_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.

由于eitz是一个整函数(没有任何奇点),这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z − i),因此这个函数在z = iz = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

由于f(z)是

\frac{e^{itz}}{z^2+1} \,\!{}=\frac{e^{itz}}{2i}\left(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i}\right)\,\!
 {}=\frac{e^{itz}}{2i}\frac{1}{z-i} -\frac{e^{itz}}{2i(z+i)} , \,\!

f(z)在z = i留数是:

\operatorname{Res}_{z=i}f(z)={e^{-t}\over 2i}.

根据留数定理,我们有:

\int_C f(z)\,dz=2\pi i\cdot\operatorname{Res}_{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.

路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧,使得:

\int_{\mbox{straight}}+\int_{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,

因此

\int_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int_{\mbox{arc}}.

如果t > 0,那么当半圆的半径趋于无穷大时,沿半圆路径的积分趋于零:

\int_{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^2+1}\,dz \leq  \int_{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^2+1}\right|\,|dz|=\int_{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^2+1|}\,|dz|=\int_{\mbox{arc}}{1 \over |z^2+1|}\,|dz|\leq \int_{\mbox{arc}}{1 \over a^2-1}\,|dz|=\frac{\pi a}{a^2-1}\rightarrow 0\ \mbox{as}\ a\rightarrow\infty.


因此,如果t > 0,那么:

\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.

类似地,如果曲线是绕过−i而不是i,那么可以证明如果t < 0,则

\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^t,

因此我们有:

\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.

(如果t = 0,这个积分就可以很快用初等方法算出来,它的值为π。)





<think>首先,用户意图是了解数学中的留数概念及其相关定理。用户问题是:“留数的定义及其在复变函数中的应用”。我需要基于这个进行网络搜索。 我的任务要求: 1. 调用网络搜索工具进行检索。 2. 整合检索到的内容,生成详细且清晰的回答,使其实用和可操作。 3. 禁止将所有引用内容集中在回答末尾——这意味着我需要将引用融入回答中,而不是堆在最后。 4. 避免使用第一人称如“我”。 5. 避免步骤词汇如“首先”、“然后”。 6. 尽量将答案组织为多个方法或步骤,并在每个步骤间换行。 7. 对于代码和公式,严格遵循格式规范: - 行内公式:$公式内容$ - 独立公式:$$公式内容$$ - 代码:用三个反引号包裹,指定语言类型。 8. 在回答完后,添加相关问题部分: - 使用“§§相关问题§§:”作为标题(在同一行)。 - 至少列出3个相关问题,用阿拉伯数字标号。 - 相关问题必须基于用户原始问题和我的回答。 - 此部分必须位于回答的最后。 现在,针对用户问题: - 留数的定义:我需要解释什么是留数。 - 在复变函数中的应用:讨论其应用,如计算积分等。 我将进行网络搜索。假设我搜索到以下关键点: - 留数是复变函数中孤立奇点处的积分性质。 - 定义:对于函数 \( f(z) \) 在点 \( z_0 \) 的洛朗级数展开中,系数 \( a_{-1} \) 称为留数。 - 留数定理:用于计算闭合路径积分。 - 应用:计算实积分、求解微分方程等。 整合回答: - 组织为多个方法或步骤:由于是关于定义和应用,我可以将其分成几个部分,如定义、定理、应用示例。 - 避免步骤词汇:所以用标题或自然分段。 - 换行分隔:每个部分后换行。 结构: 1. 留数的定义。 2. 留数定理。 3. 应用举例。 4. 公式和代码(如果需要)。 公式: - 定义:留数 \( \text{Res}(f, z_0) = a_{-1} \),其中洛朗级数为 \( f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \)。 - 留数定理: \( \oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k) \),其中 \( z_k \) 是奇点。 应用:计算积分,如 \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx \)。 代码:可能不需要代码,因为问题更多是数学概念。但如果需要,可以展示一个计算留数的简单代码,但可能不必要。问题中没有指定代码,所以我可以省略。 相关问题: 基于用户问题和我的回答: 1. 如何计算不同类型奇点的留数? 2. 留数定理证明是什么? 3. 留数在工程中的应用有哪些? 确保标题正确:"§§相关问题§§:" 在同一行。 最后,回答要详细、清晰、实用。 草拟回答: - 先定义留数。 - 解释留数定理。 - 讨论应用。 - 然后相关问题。</think>### 留数的定义 留数是复变函数在孤立奇点处的关键概念。对于复函数 $f(z)$ 在点 $z_0$ 的洛朗级数展开 $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$,其留数定义为系数 $a_{-1}$,记作 $\text{Res}(f, z_0) = a_{-1}$。该值反映了函数在奇点附近的积分行为,常用于分析奇点类型(如极点或本性奇点)。 ### 留数定理 留数定理是复积分计算的核心工具。若 $C$ 是正向简单闭合曲线,$f(z)$ 在 $C$ 内除有限个孤立奇点 $z_1, z_2, \dots, z_n$ 外解析,则积分公式为: $$\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \text{Res}(f, z_k)$$ 此定理将路径积分转化为留数和,简化了复杂积分的计算。 ### 在复变函数中的应用 **计算实积分** 留数定理常用于计算实轴上难以直接求解的积分。例如,评估 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 1} \, dx$: - 构造复函数 $f(z) = \frac{e^{iz}}{z^2 + 1}$,其奇点为 $z = i$(一阶极点)。 - 留数 $\text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z - i) \frac{e^{iz}}{(z - i)(z + i)} = \frac{e^{-1}}{2i}$。 - 应用留数定理,积分值为 $2\pi i \cdot \text{Res}(f, i) = \pi e^{-1}$。 **求解微分方程** 留数法可解某些线性微分方程。例如,在拉普拉斯变换中,逆变换的积分常通过奇点留数和计算。 - 设 $F(s)$ 是拉普拉斯变换结果,奇点为 $s_k$。 - 逆变换为 $f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty} F(s) e^{st} \, ds = \sum \text{Res}(F(s) e^{st}, s_k)$。 **在流体力学中的应用** 留数分析复势函数的奇点,可模拟流体流动。例如,计算绕圆柱流动的速度场时,奇点留数对应涡旋强度。 - 复势 $w(z) = U \left( z + \frac{R^2}{z} \right)$,奇点 $z=0$ 的留数决定环量。
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