6、学生课程作业作弊检测的模式发现工具

学生课程作业作弊检测的模式发现工具

1. 偶然相似性？

1.1 扫描统计量

扫描统计量的思想和工具为我们判断由意外的数据点汇聚所暗示的明显模式是否代表底层分布中的真实结构提供了基础。不过，这是一个相对较新的领域，大部分工作都集中在一维或二维的情况。本小节总结扫描统计量的思想，下一小节探讨可能适用于我们特定问题的方法。

假设我们观察一个单变量的值。一个自然的问题是，根据某种背景模型，某些值是否比预期更频繁地出现。例如，如果认为这些值应该是均匀分布的，那么这些值是否有聚集的趋势；或者如果这些值是由一个点过程生成的，能否用泊松过程来建模，还是有聚集的迹象？实际例子包括疾病在时间上的聚集可能性、由于共同原因导致的故障聚集，或者警察在执行任务中的死亡情况。

可以通过一个在数据空间上移动的小窗口来定义一个合适的统计量，以检测这种聚集情况，在每个位置统计窗口覆盖的事件数量。特别感兴趣的是给定宽度窗口覆盖的最大点数的分布，或者覆盖给定点数所需的窗口宽度的分布。

举个简单的例子，考虑一个由 $N$ 个独立的二元随机变量 $X_i$（$i = 1, …, N$）组成的序列。我们的原假设 $H_0$ 是这些变量取 1 的概率都相同，即 $H_0 : X_i \sim Bern(p_0)$，$i = 1, 2, …, N$，其中 $Bern(p)$ 是参数为 $p$ 的伯努利分布。备择假设 $H_1$ 是：对于某些 $i = s, s + 1, …, s + w - 1$，$X_i \sim Bern(p_1)$，否则 $X_i \sim Bern(p_0)$。现在定义：
$Y_t = \sum_{i=t}^{t+w-1} X_i$
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