tomato的博客

本文对基于除子类群的公钥密码系统进行了深入分析，重点研究了Kim和Moon提出的基于多项式环的密码系统。通过利用Gröbner基方法进行理想计算，发现该系统中的离散对数问题可以被有效求解，从而揭示了系统的安全隐患。文章详细探讨了多项式环的特征、除子类群的构造以及密码分析的具体步骤，并对系统安全性与计算效率之间的权衡进行了深入讨论。最终，文章提出未来的研究方向，包括寻找更安全的除子类群和改进密码系统设计。

这篇博文探讨了如何将经典高斯和中的高斯周期替换为斯塔克单位，以推广拉格朗日预解式的构造。文章回顾了拉格朗日预解式和经典高斯和的基本理论，介绍了斯塔克单位及其在全实域 F 的阿贝尔扩张中的应用。研究重点在于由斯塔克单位构造的拉格朗日预解式的性质，尤其是其素因子分解形式，并通过实际计算和统计检验验证了相关理论。尽管取得了一些进展，但关于全实域上的斯塔克猜想仍有许多问题有待进一步研究。

本文介绍了一种基于广义二进制除法（GB除法）的二进制递归最大公约数（GCD）算法，作为Knuth-Schönhage算法的改进变体。该算法避免了传统算法中复杂的‘修正程序’，在描述和证明上更为简洁，同时保持了相同的准线性时间复杂度。文章详细阐述了GB除法的原理、GB欧几里得算法的实现、递归算法的设计及其正确性证明，并讨论了算法在不同输入规模下的优化策略。实验表明，在GNU MP中的实现相比Magma和Mathematica中的经典算法，在大整数输入下快3到4倍，具有显著的性能优势。

本文系统研究了有限域上三次函数域的算术性质及其相关算法，重点包括标准模型的定义、整基的构造、签名的判定、单位群的结构、调节器和基本单位的高效计算方法。通过理论分析与算法设计，文章为三次函数域在密码学等领域的应用提供了坚实的理论基础和实用的计算工具。

本文探讨了数论与代数几何中对数群中的离散对数计算及其在K-理论中的应用，同时研究了亏格3非超椭圆曲线的点计数算法。对数群计算通过确定指数上界、生成元与关系矩阵，揭示了对数类群的结构；野核计算则结合Jaulent定理与Galois扩张构造，为数域中K2群的研究提供了方法；亏格3曲线的点计数利用AGM算法与theta常数计算，通过曲线提升、序列生成与Frobenius多项式计算，为密码学与代数几何提供了重要工具。

本文研究了法里序列中顺序统计量的计算问题，从初始的O(n log n)算法逐步改进到O(n^(2/3))算法，并探讨了其与整数因式分解的关系。通过分析不同生成法里序列的方法，文章提出了一种基于系数预处理和莫比乌斯函数的优化算法，并揭示了多项式时间顺序统计量算法对因式分解的潜在影响。

本文围绕低维格的基约化问题，提出并分析了一种基于高斯算法思想的贪心约化算法。通过深入研究低维格的几何性质，特别是Minkowski约化基和Voronoï胞的特性，文章证明了在四维及以下维度，贪心算法能够在二次时间内计算出Minkowski约化基。同时，文章也探讨了该算法在五维及以上高维情况下的局限性，并指出了未来研究的方向，包括探索新的约化策略、深入研究高维Voronoï胞结构以及优化现有算法等。该研究为格约化算法的设计与分析提供了理论支持，并为密码学、编码理论等相关领域的应用奠定了基础。

本文探讨了迹为 -2 的塞勒姆数与全正代数整数的迹之间的关系。研究内容包括通过星状树、交错多项式构造具体的塞勒姆数例子，提出了寻找低次数迹为 -2 塞勒姆数的新方法，并展示了存在无限多个此类塞勒姆数的证明。此外，文章介绍了新的搜索算法，用于寻找特定次数和迹的全正代数整数，并利用这些结果改进了全正代数整数绝对迹的下界。最后，文章讨论了一个可能影响迹问题解决的多项式条件，并探讨了其对迹问题的意义。

本文探讨了蒙哥马利算法在低亏格曲线，特别是亏格2曲线中的推广与应用，展示了其在密码学中提高标量乘法效率和抵御侧信道攻击的优势与挑战。同时，介绍了全实三次数域戴德金zeta函数在负整数处的精确值计算方法，结合数值近似和分母信息得出精确解，并指出了未来在算法优化、曲线选择和应用拓展方面的研究方向。

本博文深入探讨了数论中虚循环四次域的高负类数问题以及九次3-进域的相关研究。在虚循环四次域方面，研究团队改进了Louboutin方法，通过大规模计算寻找具有高负类数的素数，并尝试构造满足条件的素数，部分结果支持了Cohen-Martinet启发式。对于九次3-进域，研究系统地计算了795个同构类的伽罗瓦群和斜率，利用预解式多项式和伽罗瓦理论进行分类，并探讨了其在可解与不可解九次有理数域中的应用。研究成果为代数数论的发展提供了重要的理论支持和数据参考。

本文研究了分圆范数方程的求解问题，并提出了一种避免传统枚举类群的高复杂度方法。该方法通过分解整数的绝对范数，并结合Gentry-Szydlo多项式时间算法对多个候选对象进行处理，从而高效地求解分圆范数方程。文章还探讨了算法在特殊和一般情况下的应用，展示了其在密码学中的潜在意义和应用价值。

本文围绕椭圆曲线和代数函数域展开深入研究，提出了椭圆曲线的对称模型，分析了其判别式、j-不变量及约化性质，并与勒让德模型进行对比。研究还涉及环类域的构造、多项式性质分析及希尔伯特类多项式的计算方法。此外，开发了一种用于计算代数函数域同构和自同构的算法，并在全局函数域上实现了原型。这些成果在数论、密码学和代数几何中具有重要理论意义和实际应用价值。

本博文围绕CEILIDH和XTR两种公钥密码系统，从理论基础、表示形式、运算代价、压缩效率及应用场景等方面进行了深入比较。CEILIDH基于环面结构，提供灵活的表示形式和高效的预计算性能，而XTR通过迹映射实现高效运算，在资源受限环境下表现优异。文章通过实验验证了两者在不同场景下的优势，并展望了未来的研究方向和应用潜力。

本博文重点研究了特征为3的有限域中函数域筛法（FFS）在解决离散对数问题（DLP）中的应用，尤其是在基于身份的加密（IBE）系统中涉及的复合域。文章分析了函数域筛法在不同参数和基域选择下的性能表现，并通过实验评估了算法在不同域大小下的效率和可行性。研究结果表明，随着域大小的增加，算法的难度和时间成本急剧上升，尤其是矩阵求解步骤成为了主要瓶颈。此外，文章还提出了未来的研究方向，包括优化线性代数步骤、改进参数选择策略以及扩展到其他特征的复合域，以提高函数域筛法的效率和适用性，为基于配对的密码系统的安全性提供更可

本文提出了一种低内存并行版本的Matsuo、Chao和Tsujii（MCT）算法，用于解决亏格2超椭圆曲线的点计数问题。该算法通过二维伪随机游走和特殊点检测技术，显著降低了内存需求，同时支持并行计算，适用于内存受限的环境。文章还讨论了该方法在更高亏格曲线和皮卡曲线上的潜在应用，并通过模拟实验和实际实验验证了其有效性。与原始MCT算法相比，虽然时间复杂度有所增加，但几乎无需内存且具备良好的可扩展性。

本文围绕高秩椭圆曲线的构造与快速椭圆曲线素性证明算法（fastECPP）展开研究。在高秩椭圆曲线方面，通过立方曲面法和3-同构下降法成功构造了秩为8至11的曲线实例，并优化了搜索与验证方法。在fastECPP算法方面，引入多种优化技术，如小素数整除性测试、快速傅里叶变换乘法、早期中止策略，并结合分布式计算策略，实现了对超过10000位大数的素性证明。研究成果为椭圆曲线理论与大素数验证提供了新的思路和高效方法，具有广泛的应用前景。

本文研究了椭圆曲线和超椭圆曲线上的改进双线性配对方法，包括平方Weil配对和平方Tate配对。通过优化的算法，这些配对在计算效率上显著优于传统方法，且不依赖于随机选择的点。文章详细介绍了这些配对的定义、算法实现、正确性证明以及成本分析，并通过示例验证了其在密码学应用中的高效性。

本文探讨了如何将椭圆曲线中的蒙哥马利标量乘法方法推广到亏格2曲线。通过使用库默尔曲面理论，作者提出了适用于类蒙哥马利形式的亏格2曲线的标量乘法算法，该方法在抵抗侧信道攻击方面表现出色，并在密码学应用中具有较高的效率和较小的内存占用。文章详细比较了该算法与常规标量乘法算法在操作次数、安全性及实现复杂度方面的差异，并展望了其在智能卡等受限环境中的应用潜力。

本博文围绕两个主要主题展开研究：一是关于曲线上的有理除子类中是否存在有理除子的问题，通过Brauer-Severi簇的引入提供了解决方案；二是关于Hecke代数判别式的猜想，提出了多个与特征形式同余关系和Hecke代数结构相关的猜想。文章详细讨论了有理除子的构造方法以及判别式赋值的计算和分析，展示了这些研究在代数几何和数论中的重要意义，并为进一步研究提供了方向和基础。

本文深入探讨了构造具有指定点数的椭圆曲线的多种方法，包括朴素算法、基于复乘法的确定性算法、非阿基米德方法以及使用类不变量的方法。这些方法在密码学和数学理论研究中具有重要意义，适用于不同规模的问题场景。文章通过具体示例展示了每种方法的应用流程，并对比了它们的优缺点和适用范围，为未来的研究方向提供了展望。

本文介绍了伪立方数的理论基础及其在素性测试中的应用。通过扩展伪平方数的概念，引入了伪立方数的定义及其在立方剩余性和立方互反律中的性质。基于这些理论，文章提出了强立方伪素数的概念，并设计了一种高效的素性测试方法。该方法避免了复杂的符号计算，仅需在整数环中进行模幂运算，从而在理论上具备更高的效率。与基于伪平方数的测试方法相比，伪立方数的增长率更慢，使得其在大整数素性测试中具有潜在优势。尽管当前方法仍需要大量预计算，但随着研究的深入和计算能力的提升，该方法有望成为更高效的素性测试工具。

本文研究了低亏格代数曲线（尤其是亏格为3的超椭圆曲线和其他非超椭圆曲线）的算术实现方法，重点围绕其雅可比行列式的群结构展开。通过引入‘典型’理想元素和优化多项式算术，开发了用于群运算的显式公式，并统计了域乘法和求逆操作的次数。文章还比较了不同曲线类型的计算效率，指出其他曲线在密码学应用中是超椭圆曲线的合理替代方案。此外，还提供了实现相关算法的MAGMA代码链接，并探讨了在受限环境下的优化策略。

本文探讨了数域中单位群的基本单位系计算、主理想测试以及类群和类数计算等核心计算数论问题的复杂性。研究结果表明，在数域次数为常数的条件下，这些问题均属于SPP复杂度类；对于类群和类数的计算，结果在广义黎曼假设（GRH）下成立。文章结合狄利克雷定理、对数映射、格的最小基算法以及紧凑表示等工具，给出了多项式时间量子算法之外的复杂性分析视角。

本文介绍了一种类二进制最大公约数（GCD）算法，并成功将其推广到四个复二次环，包括Z[√-1]、Z[√-2]、Z[√-3]和Z[√-7]。算法时间复杂度为O(log²n)，具有操作简单、高效且适用范围广的特点。相较于传统欧几里得算法，该算法不仅适用于欧几里得环，还扩展到了非欧几里得的唯一分解域，突破了原有算法的限制。文章详细描述了算法的设计思想、实现步骤以及在不同复二次环上的具体应用，并分析了其运行时间和潜在应用领域。

本文围绕大秩小导体椭圆曲线展开研究，探索了两种寻找具有大量整点且判别式较小的椭圆曲线的算法，并取得了秩为5至8的低导体椭圆曲线的新记录。文章还分析了整点计数方法以及最大秩随导体增长的启发式猜想，对相关数论问题提供了新的实验数据和理论支持。

本文探讨了在保证安全性的前提下，如何利用原始子群以更少的比特实现更多功能。通过研究离散对数密码学、基于环面的密码学以及配对密码学，分析了多种系统（如XTR、CEILIDH、BLS签名等）在传输效率和操作复杂度上的优势。此外，文章还比较了不同系统的性能，并展望了未来的研究方向，包括优化现有系统、探索更通用的方案以及改进配对密码学等。

本文探讨了有限域上代数簇zeta函数的上同调计算方法，介绍了Monsky-Washnitzer上同调和刚性上同调理论，并以超椭圆曲线为例详细分析了计算流程。通过对比Schoof方法和Satoh方法，突出了上同调方法在处理高亏格曲线和高维代数簇上的优势。同时，讨论了其在密码学、编码理论等领域的应用前景及未来研究方向。