数学之旅各种空间整理笔记

最新推荐文章于 2024-03-27 13:33:50 发布

原创

最新推荐文章于 2024-03-27 13:33:50 发布 · 859 阅读

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本文整理了数学中的各种空间概念，包括距离、范数、距离空间、赋范空间、线性空间、内积空间和拓扑空间。探讨了距离的属性、范数与距离的关系，以及完备性和连续性的概念。特别地，解释了欧几里得空间、酉空间和希尔伯特空间在无穷维度下的意义。

参考：
上海交通大学mooc上数学之旅
百度文库ppt

注意：定义一个抽象概念：去限制它的属性

结构图：

在这里插入图片描述

文章目录

结构图：
一、结构
二、距离
三、范数
四、距离空间（度量空间）
- 距离空间的例子
- 4.1 线性度量空间
五、赋范空间
六、线性空间
七、内积空间
八、拓扑空间

一、结构

线性结构：加法和数乘；
拓扑结构：距离、范数、开集

二、距离

距离的具体例子

点到点的距离

在这里插入图片描述
d3是折线距离和
d2是最大折线距离

函数的距离

在这里插入图片描述

其他距离

数学家之间的距离：合作发表文章数量多少
血缘关系的距离：
心灵距离：默契程度，爱好、看法是否一致，经历相似度

❀距离的定义：3个属性

在这里插入图片描述
（1）距离非负：距离为0的是同一点
（2）对称性
(3)三角不等式：直线最短

三、范数

❀范数定义：点到零点的距离

在这里插入图片描述
（1）非负
（2）齐次性
（3）三角不等式

范数的例子

在这里插入图片描述
情形3能不能取min？不行
对于点的距离来说，因为有xi为0的话距离就为0了，但其实两点不是同一点
对于函数的距离来说，有交点则距离最小是交点的距离0，但其实不是同一函数

范数和距离的关系

在这里插入图片描述

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