综述：时间序列LB LM检验

序列自相关检验（也可以视为白噪声检验）

文献出处：

https://blog.nex3z.com/2019/07/24/time-series-q-statistic/
https://www.zhihu.com/question/22863169

作用

对于滞后相关的检验，我们常常采用的方法还包括计算ACF和PCAF并观察其图像，但是无论是ACF还是PACF都仅仅考虑是否存在某一特定滞后阶数的相关。LB检验则是基于一系列滞后阶数，判断序列总体的相关性或者说随机性是否存在。
ARIMA模型去拟合数据后我们要对残差的估计序列进行LB检验，判断其是否是高斯白噪声，如果不是，那么就说明ARIMA模型也许并不是一个适合样本的模型。而对于更为复杂的模型，比如GARCH类模型，在开始进行ARCH效应检验并拟合后，对于所得到的序列，我们同样要进行LB检验，判断其是否与我们对模型的初始假定相同。

ARCH-LM在检验前后使用的目的是不同的，使用ARCH模型之前检验，是为了判断是否存在ARCH效应，是否使用该模型，使用ARCH模型之后再用该检验是为了判断ARCH模型是否消除了自回归条件异方差的影响。如果之前为检验，而做完模型之后才去做，首先可以了解笔者是认为该模型一定存在ARCH效应的，所以无需之前检验，只要用完模型检验通过检验就什么都解释了。 亲

R语言

x <- rnorm (100)
Box.test (x, lag = 5)
Box.test (x, lag = 10, type = "Ljung")

LM检验

其实lr、wald、lm三大检验都是检验模型中对于参数的约束是否合理。
其中lr可以看作是约束条件下的log likelihood和非约束下之差（显然约束条件下要小），在原假设下（约束是成立的）这两个差值不会太大；
wald检验是把非约束条件下算出来的统计量的值代入约束条件，在原假设条件下约束方程不会显著偏离0；
lm检验可以看作是算log likehood function在约束条件估计量的斜率，（也就是score variable在这一点的值，所以也称score test）。想象一下如果无法拒绝原假设，那么约束和非约束参数会非常接近（都是MLE），那么这一点的斜率应该非常接近于0（因为MLE取loglikelihood的极大值，这一点斜率为0），再利用delta method就可以推出检验量的分布了。

出处：https://www.zhihu.com/question/266689989/answer/321402597。

R语言

This function computes univariate and multivariate ARCH-LM tests for aVAR§.

arch。search(x, lags.single = 16, lags.multi = 5, multivariate.only = TRUE)