Normal Equation推导

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博客主要围绕Normal Equation的推导展开，在信息技术领域，这一推导可能涉及到算法、数据建模等方面的知识，对于理解相关理论和应用有重要意义。





正规方程（Normal Equation）推导
qq_40527427的博客
04-27 675
正规方程作为处理回归问题的一种一步到位的方法，对于特征数不是很大的训练集简单且实用，它实质上是一种最小二乘法的应用，推导过程如下。 首先，线性回归的代价方程为： 我们的目的是：得到这么一个向量，使得取最小值。 已知条件：是一个凸函数。 令： ...
标准方程法(normal equation)公式推导
qq_31293215的博客
10-19 2740
最近在看吴恩达的机器学习网课，讲到标准方程法的时候没有给出推导，在参考了两篇博客后推导出来了，记录一下。 机器学习之正规方程法推导 机器学习——线性回归中正规方程组的推导 两篇文章都给出了推导需要的基础知识，本篇所用的核心如下： 首先： 1/2m最终等式右边等于零，且不影响求导，故后续公式中省略 所以有：(重点) 使用前文给出的基本公式，开始计算d(...
Standford机器学习 线性回归CostFunction和Normal equation的推导
05-08
Standford机器学习 线性回归CostFunction和Normal equation的推导
Normal Equations
a512977208的博客
05-20 264
Normal Equations 的由来 假设我们有m个样本。特征向量的维度为n。因此，可知样本为{(x(1),y(1)), (x(2),y(2)),... ..., (x(m),y(m))},其中对于每一个样本中的x(i),都有x(i)={x1(i), xn(i),... ...,xn(i)}。令 H(θ)=θ0 + θ1x1 +θ2x2 +... + θnxn，则有 若希望H...
机器学习理论篇之NormalEquation推导过程
热门推荐
NFMSR的博客
11-19 1万+
Normal Equation是一种基础的最小二乘方法，本文将从线性代数的角度来分析Normal Equation（而不是从矩阵求导 matrix derivative 的角度）。 很多作者（特别是智商比较高的）在推导公式的时候有意无意的忽略了思考过程，只留下漂亮的步骤。这让很多读者（比如说我）跟不上节奏，最后一头雾水。本文将从求解“貌似无解”的方程组入手，再讲讲投影（Projection）的使
多元线性回归方程正规方程解（Normal Equation）公式推导详细过程
iioSnail的博客
07-13 3936
多元线性方程公式 定义多元线性方程的损失函数如下： J(θ)=12m∑i=1m(y^(i)−y(i))2            (1) J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m (\hat{y}^{(i)} - y^{(i)})^2~~~~~~~~~~~~(1) J(θ)=2m1​i=1∑m​(y^​(i)−y(i))2   &
正规方程(normal equation)
qq_39875876的博客
05-24 752
正规方程(normal equation) 线性回归模型求拟合函数的最优参数，一般有两种方法： 梯度下降法，过程是对损失函数的每个参数求偏导，通过迭代一步步更新，直至收敛到局部或全局最小值，从而得到最优参数。 正规方程，过程是对于一个损失函数，将其对参数求导，得到导函数并将其值置为0，从而解出最优参数。 下面是正规方程的推导： 线性回归模型： f(x)=w0+w1x1+w2x2+⋯+wdxd f(x)=w_0 + w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_dx_d\\ f(x)=w0​+w1​x1​+
5种方法推导Normal Equation
03-25 357
引言： Normal Equation 是最基础的最小二乘方法。在Andrew Ng的课程中给出了矩阵推到形式，本文将重点提供几种推导方式以便于全方位帮助Machine Learning用户学习。 Notations： RSS（Residual Sum Squared error）：残差平方和 β：参数列向量 X：N×p矩阵，每行是输入的样本向量 y：标签列向量，即目标...
机器学习正规方程（Normal Equation）推导
游吟焰火的博客
02-03 559
利用正规方程求解出使得代价函数最小的参数θ=(XTX)−1XTy\theta=(X^TX)^{-1}X^Tyθ=(XTX)−1XTy 有两种推导方法 1.矩阵求导 已知代价函数为： J(θ)=12(Xθ−y)2=12(Xθ−y)T(Xθ−y)=12(θTXT−yT)(Xθ−y)=12(θTXTXθ−θTXTy−XθyT+yTy) \begin{aligned} J(\theta)&=\frac{1}{2}(X\theta-y)^2\\ &=\frac{1}{2}(X\theta-y)^T(X
Standford 机器学习学习笔记线性回归和多项式回归
05-08
Coursera 上的 Standford 机器学习学习笔记线性回归和多项式回归
机器学习：正规方程(Normal Equation)的推导
Mao_Jonah的博客
08-28 3106
https://blog.youkuaiyun.com/xidianliutingting/article/details/51673207
正规方程推导（Normal equation）
welcom_的博客
11-20 503
normal equation 推导思路 先推导，用例数目m=2时，X=[1x111x12],Y=[y11y12],θ=[θ11θ12]先推导，用例数目m=2时，X=\begin{bmatrix} 1 & x_1^1 \\ 1 & x_1^2 \\ \end{bmatrix},Y= \begin{bmatrix} y_1^1 \\ y_1^2 \\ \end{...
Normal Equation 推导过程部分细节
Ss2017105的博客
05-09 435
之前一直理解不了normal equation中为什么是AT，通过看这个视频，恍然大悟，原视频链接为 （https://www.youtube.com/watch?v=Zu-UlcfPPUk），其中该视频与这篇文章（https://zhuanlan.zhihu.com/p/22757336）讲解思路是完全一样的，但是这篇文章中把为什么是AT 解释的不够 ，我没完全理解。如果你想真正理解normal...
Standford机器学习 线性回归Cost Function和Normal Equation的推导
Jackie_Zhu的专栏
05-04 7026
1.线性回归CostFunction推导：               在线性回归中，Cost Function是，关于这个公式的推导，首先由一个假设,其中满足高斯分布，. 那么根据得出在这里，把看成是随机变量，那么服从高斯分布，，对于给定的X，theta要估计y的分布是怎么样的，极大似然估计函数为：
Normal Equation（正规方程）
weixin_30642869的博客
08-06 199
Normal Equation Note:[8:00 to 8:44 - The design matrix X (in the bottom right side of the slide) given in the example should have elements x with subscript 1 and superscripts varying from 1 to ...
正规方程推导，详细版
woai110120130的专栏
10-19 1477
Jθ12m∑i1mhθxi−yi2Jθ2m1​∑i1m​hθ​xi−yi2mmm是样本数量。xix^{(i)}xi是第iii个样本的特征向量。yiy^{(i)}yi是第iii个样本的实际值。hθxihθ​xi是模型对第iii个样本的预测值。θ\thetaθ是模型的参数向量。在求导过程中，我们使用了矩阵微积分的规则，特别是关于二次型和线性项的导数。
正规方程法(Normal Equation)原理以及与梯度下降法的区别
TranSad的博客
07-25 1560
具体θ该怎么算呢，下面用一个具体的房价预测例子，来更加清晰地描述X和y以及θ的关系形式，并且引出另一种求正规方程法结论的方式。假设它只有一个参数θ1，我们通过下图中公式（梯度下降法）中的方法，就可以找到一个局部或者是全局最优解。中，我们已知要想得到theta，只需要左右两边都乘以X的逆矩阵即可，但大多数情况下X不一定是方阵，不一定有逆矩阵，于是我们先都同时乘以X的转置矩阵，让其成为方阵。这种思路的本质就是我们要求一个最优的θ，可以直接先假设Xθ=y，从而逆推出θ来。这样，正规方程法的思想就讲完了。.....
Normal Equations 的由来与推导
huruzun的专栏
11-25 5514
线性回归中 两种重要方法之一的： Normal Equations 的由来与推导
所有人都能看懂的正规方程（Normal Equation for Everybody）
最新发布
03-12
<think>好的，我现在需要处理用户关于正规方程（Normal Equation）的查询。用户希望得到一个简单易懂的解释或教程，适合机器学习初学者。首先，我需要回忆正规方程的定义和用途，确保自己理解正确。 正规方程是线性回归中用于直接求解最优参数的方法，通过最小化损失函数来找到参数θ，使得预测值和实际值之间的平方误差最小。与梯度下降不同，正规方程不需要迭代，而是通过解析解直接计算。这一点需要明确说明，方便用户理解其优势。 接下来，我需要整理正规方程的推导过程。从线性回归的假设函数开始，即$h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x_1 + ... + \theta_n x_n$，然后构建损失函数$J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2$。为了最小化J(θ)，对θ求导并令导数为零，得到正规方程$X^TX\theta = X^Ty$，进而解出θ的解析解$\theta = (X^TX)^{-1}X^Ty$。这个过程需要分步骤讲解，确保逻辑清晰。 同时，需要注意矩阵运算的条件，比如矩阵$X^TX$是否可逆。如果不可逆，可能需要使用伪逆或者检查特征是否存在线性相关。这部分是实际应用中常见的问题，应该提及，但作为初学者教程，可能需要简要说明，避免过于深入复杂的数学概念。 用户提供的引用中，引用[2]提到导数作为损失函数斜率的理解，这可以关联到正规方程中对导数的应用，即通过求导找到最小值点。可以引用这一点来加强解释，说明正规方程如何利用导数求解最优解。 然后，需要比较正规方程和梯度下降的优缺点。正规方程适用于特征数量较少的情况，因为矩阵逆的计算复杂度为$O(n^3)$，当n很大时计算成本高。而梯度下降在特征数量大时更高效，且适用于非线性模型。这部分对比帮助用户理解何时选择哪种方法。 在实现部分，给出一个Python示例代码会有助于用户理解应用方法。例如，使用NumPy库中的函数来计算矩阵逆，并展示如何从数据构造设计矩阵X和标签y，然后代入公式计算θ。同时，提醒用户注意添加偏置项（全1列）到X中，以及处理矩阵不可逆的情况。 最后，根据用户要求生成相关问题，我需要考虑正规方程的基础、与梯度下降的比较、应用限制、数学推导以及实际应用等角度。这些问题应覆盖用户可能进一步感兴趣的方面，帮助他们深入学习和解决问题。 确保整个回答结构清晰，语言简洁，避免使用复杂术语，必要时用例子或代码辅助说明。同时检查LaTeX格式是否正确，行内公式使用$...$，独立公式使用$$...$$并单独成段。引用标记要自然添加，比如在提到导数时引用[^2]。</think>### 正规方程的简单解释（适合初学者） #### 1. 什么是正规方程？ 正规方程是机器学习中用于**直接求解线性回归最优参数**的数学方法。它通过最小化损失函数（如均方误差），找到使得预测误差最小的模型参数$\theta$，无需迭代计算[^2]。 #### 2. 核心公式 假设有$m$个样本和$n$个特征，设计矩阵$X$（形状$m \times (n+1)$），目标值向量$y$（形状$m \times 1$），参数向量$\theta$的最优解为： $$ \theta = (X^T X)^{-1} X^T y $$ #### 3. 推导步骤（简化版） 1. **假设函数**：$h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x_1 + ... + \theta_n x_n$ 2. **损失函数**：$J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2$ 3. **对$\theta$求导并令导数为零**，最终推导出上述核心公式。 #### 4. 与梯度下降的对比 | 特性 | 正规方程 | 梯度下降 | |--------------------|----------------------------------|-------------------------| | 是否需要迭代 | 直接计算 | 需要迭代更新 | | 时间复杂度 | $O(n^3)$（矩阵逆运算） | $O(kn^2)$（k为迭代次数）| | 适用场景 | 特征数量$n$较小时（如$n < 10^4$） | $n$较大时更高效 | #### 5. Python实现示例 ```python import numpy as np # 构造数据（添加全1列作为偏置项） X = np.array([[1, 2], [1, 3], [1, 4]]) # 特征矩阵 y = np.array([5, 7, 9]) # 目标值 # 正规方程计算 X_T = X.T theta = np.linalg.inv(X_T @ X) @ X_T @ y print("最优参数θ:", theta) # 输出例如 [3. 2.] ``` #### 6. 注意事项 - **矩阵不可逆**：当特征之间存在线性相关性时，$X^T X$可能不可逆。解决方案：删除冗余特征或使用伪逆（`np.linalg.pinv`） - **数值稳定性**：当特征数量多时，矩阵逆运算可能出现数值误差
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