抛物线的切线

抛物线的切线

抛物线切线的这两个性质是理解Voronoi平面图与空间凸包映射的基础，有些书上会与解析几何的方法求得，而这里主要使用平面几何的方法.

性质1：两切线交点与两切点的水平距离相同

这个性质对任何抛物线都成立.

D，E是抛物线上的两个点，过它们的切线交于点H，D，E在抛物线准线上的正交投影为F与G，求证，H与DF及H与EG的距离相同.

证明过程需要利用抛物线的一个特点：平行于对称轴的光打在曲线上会汇于焦点.

C是抛物线的焦点，而FG是准线，所以CD=DF.

由于抛物线的光学特性，所以：$\angle JDH=\angle CDK$

又因为对顶角相等，所以： $\angle JDH=\angle KDF$

所以：$\angle CDK=\angle KDF$

所以D处的切线垂直半分CF，
同理,E处的切线垂直半分CG，

所以H是$△CFG$的外接圆圆心，H自然在FG的中垂线上.

性质2：单位抛物线(Unit Parabola)上的点与切点的平水距离是该点与切线的竖直距离的平方

所谓单位抛物线就是 $y=x^2$.
通过这个性质可以把空间点之间的水平距离映射成点与切平面的竖直距离.

D是单位抛物线上的一点，DT是切线，抛物线上任意一点E，E在水平轴与切线上的竖直方向投影分别是G与F.
求证$G{U}^2=EF$

假设D，E坐标为$(x_1,x_1^2)(-x_2,x_2^2)$

因为$△DUT\cong △FGT$
所以$\frac{GF}{DU}=\frac{GT}{TU}$

由性质1， T一定是平分OU，所以

$$GF=\frac{GT}{TU}\ast DU=\frac{x_2+\frac{x_1}{2}}{\frac{x_1}{2}}\ast x_1^2=2x_2\ast x_1+x_1^2$$

$$EF=EG+GF=x_2^2+(2x_2\ast x_1+x_1^2)=(x_1+x_2{)}^2=G{U}^2$$

通过个证明过程，很容易发现即使不是单位抛物线$y=a{x}^2$也有类型的性质:
$$EF=a\cdot G{U}^2$$