回溯法（子集树）----- 装载问题

一，问题描述

    有一批共n个集装箱要装上2艘载重量分别为c1和c2的轮船上，其中集装箱i的重量为wi，且w1+w2+...+wn <= c1+c2;

   

   装载问题要求确定，是否有一个合理的装载方案可将这n个集装箱装上2艘轮船。如果有，找出一种装载方案。

 

   例如，当n=3,c1=c2=50,且w=[10,40,40]时，可将集装箱1和集装箱2装上一艘轮船，而将集装箱3装在第二艘轮船；如果w=[20,40,40],则无法将这3个集装箱都装上轮船。

 

   当w1+w2+...+wn = c1+c2时，装载问题等价于子集和问题。当c1=c2，且w1+w2+...+wn = 2c1时，装载问题等价于划分问题。

 即使限制wi，i=1,2,...,n为整数，c1和c2也是整数。子集和问题与划分问题都是NP难的。由此可知，装载问题也是NP难的。

    容易证明，如果一个给定的装载问题有解，则采用下面的策略可以得到最优装载方案。

  （1） 首先将第一艘轮船尽可能装满。

   （2） 然后将剩余的集装箱装上第二艘轮船。

  将第一艘轮船尽可能装满等价于选取全体集装箱的一个子集，使该子集中集装箱重量之和最接近c1。由此可知，装载问题等价于以下特殊的0-1背包问题：

   max(w1x1+w2x2+...+wixi)

 

   (w1x1+w2x2+...+wixi)<= c1;

    xi @{0,1},1<=i<=n

当然可以用第三章中讨论过的动态规划算反解这个特殊的0-1背包问题。所需的计算时间是O(min{c1,2ⁿ})。下