装载问题之回溯法及其优化(不用类的程序)

本文探讨了一种装载问题,即如何将多个不同重量的集装箱合理分配到两艘载重量有限的轮船上。通过回溯法寻找可行解,并进行了算法优化以提高效率。

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一、题意描述:

有n个集装箱要装上2艘载重量分别为C1和C1的轮船。其中集装箱i的重量为Wi,且(W1+W2+….+Wn<=C1+C2)

装载问题是,是否有一个合理装载方案,可将这n个集装箱都装上这2个轮船,若有,请给出解决方案。

二、分析:

刚看到这道题,觉得一定有解,认真想想就会发现不一定。

例如:

C1=C2=50, W=(10,40,40) 可以装载(10,40)、(40)

C1=C2=55, W=(20,40,40) 无法装载

若一个给定的装载问题有解的话,可以证明,以下策略可以得到最优装载方案:

(1)首先将第一艘轮船尽最大可能装满;

(2)然后将剩余的集装箱装上第二艘轮船。

三、回溯法源代码:

//最优装载问题,时间复杂度为O(2^n)
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 10
int n;//n为集装箱的个数
int c1;//船1的装载容量
int c2;//船2的装载容量 
int x[N];//存哪些节点存进树中了1,哪些节点没有存进去 0
int w[N];//每个集装箱的重量
int bestx[N]; 
int cw;//现在已经计算出来的集装箱的和
int bestcw=0;//最优解 
void backtrack(int t,int c){
	if(t>n){
		if(cw>bestcw){
			bestcw=cw;
			for(int i=1;i<=n;i++){
				bestx[i]=x[i];
			}
		}
		else return;
	}else{ 
			if(cw+w[t]<=c){//搜索左子树 
				cw+=w[t];
				x[t]=1;
				backtrack(t+1,c);
				cw-=w[t]; //还原
				x[t]=0;//返回上一层是两个都还原 
			}else{
				x[t]=0;
			    backtrack(t+1,c);//搜索右子树
			}
	}
}  
int main(){
	memset(x,0,sizeof(x));
	memset(bestx,0,sizeof(bestx));
	cout<<"请输入集装箱的个数:"<<endl;
	cin>>n;
	cout<<"请输入第一艘船的最大载重量:"<<endl;
	cin>>c1; 
	cout<<"请输入第二艘船的最大载重量:"<<endl;
	cin>>c2;
	cout<<"请输入每个集装箱的重量:"<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>w[i]; 
	cout<<"第一艘船上装的集装箱是:"<<endl;
	backtrack(1,c1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(bestx[i])
			cout<<i<<" ";
	cout<<endl; 
	cout<<"第一艘船的最优载重量是:";
	cout<<bestcw<<endl;
	
	bestcw=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!bestx[i]) 
			bestcw+=w[i];
	}
	if(bestcw>c2){
		cout<<"这艘船不能装下剩下的所有集装箱!"<<endl; 
	}else{
		cout<<"第二艘船上装的集装箱是:";
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(!bestx[i]) 
				cout<<i<<" ";
		cout<<endl;
		cout<<"第二艘船的最优载重量是:";
	    cout<<bestcw<<endl;
	}
	return 0;	
} 

四、优化之后:(在这里我只写回溯法的函数了,其他的和上面一样)

int r;//r为剩余未判断的物品重量 
void backtrack(int t,int r){
	if(t>n){
		if(cw>bestcw){
			bestcw=cw;
			for(int i=1;i<=n;i++){
				bestx[i]=x[i];
			}
		}
		else return;
	}else{
		r-=w[t];
		if(cw+w[t]<=c1){
			cw+=w[t];
			x[t]=1;
			backtrack(t+1,r);
			cw-=w[t];	
		}
		if(cw+r>bestcw){//搜索右子树,当当前的和加上未遍历的节点大于最优解时才搜索右子树 
			x[t]=0;
			backtrack(t+1,r);
		}
		r+=w[t]; //!!!返回上层前,还要还原剩余载重量和。
    }
	
}
int main(){
	(其他省略,与上一个源代码一样)
	//计算r 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		r+=w[i];
	} .......	


### 简单装载问题回溯法算法设计 #### 1. 装载问题概述 简单装载问题是经典的组合优化问题之一,目标是在给定容量的情况下最大化装入货物的价值或数量。该问题可以通过多种方法解决,其中一种有效的方式就是采用回溯法。 #### 2. 回溯法基本原理 回溯法是一种基于深度优先搜索策略来解决问题的技术,在遇到不符合条件的情况时会返回上一步重新尝试其他可能性[^2]。对于简单的装载问题而言,这意味着当发现当前路径无法达到更优解时就会退回至上一状态继续探索新的分支。 #### 3. 设计算法框架 为了实现上述逻辑,可以按照如下方式构建程序结构: ```c // 定义全局变量用于存储最佳方案及其对应的总重量/价值 int bestWeight = 0; bool* bestSolution; void backtrack(int index, int currentWeight, bool* solutionVector){ // 如果已经遍历完所有物品,则更新最优解并结束本次递归调用 if (index >= itemCount) { if(currentWeight > bestWeight && currentWeight <= capacity){ bestWeight = currentWeight; memcpy(bestSolution,solutionVector,sizeof(bool)*itemCount); } return ; } // 尝试不放入第index个物体 solutionVector[index]=false; backtrack(index+1,currentWeight,solutionVector); // 若还能容纳下这个物体,则考虑将其加入背包内 if(currentWeight + weights[index]<=capacity){ solutionVector[index]=true; backtrack(index+1,currentWeight+weights[index],solutionVector); } } ``` 这段代码展示了如何通过递归来模拟决策树中的每一个节点的选择过程,并利用剪枝操作减少不必要的计算量。每次到达叶子结点处都会检查是否找到了更好的解决方案;如果确实如此就记录下来作为目前所知最好的结果[^1]。
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