解题思路总结-优快云博客

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拆点

因为处理点往往很困难，且图论中大部分算法是对边进行操作，故可以将点拆成两个状态并连边，再运用算法解决问题。

常用于：网络流建立模型、布尔值相关问题

例题：
【SCOI2007】蜥蜴

树上序列

大部分树上序列（如欧拉序）都让同一子树的节点连续排列，从而使诸如线段树、莫队等的数据结构和算法可以解决树上的在线查询和修改的问题。

比如树上莫队和树链剖分，其实都用到了类似的思想，从而减小了时间复杂度，故而这是解决树问题的一个非常强大的工具。

例题：
【WC2013】糖果公园（详解）

异或的特点

数 $a$ 异或上数 $b$ 得到数 $c$ ，则必有 $c \geq a 、 c \geq b$ ，这是有时解决异或题目非常有用的性质，比如博弈论中经典的 $N im$ 游戏的解法证明正是基于异或的这个性质。

例题：
博弈论—— $N im$ 游戏

影响的传递

在处理数组时，有时会遇到区间处理的问题，如果这个问题无法快速合并和转移（即无法使用线段树、莫队等类似算法时），那么可以考虑数与多个数之间的影响，考虑能否进行分块并快速求出分出的每一块的贡献，进而将问题简化。

例题：
【NOIP2018 提高组】铺设道路

倍增法

在处理区间上的问题时，若两个相邻区间间存在比较容易的合并方法，则可以使用倍增法将时间复杂度中的一个 $n$ 降为一个 $㏒₂n $。

倍增法的运用非常多，如： $RMQ$ 问题中的st表、求 $L C A$ 中的倍增法，后缀数组 $S A$ 的快速求解……

例题：
【模板】后缀排序

贡献

传递性

有些时候贡献的传递性非常重要，它可以帮助你降低时间复杂度，比如从 $O (n)$ 降到 $O(\log_2n)$ ，这一方法在 $SOS D P$ 中有所使用。

计算技巧

在整体贡献难以计算时，我们可以考虑差分，也可以考虑将贡献的式子列出来后，分开统计便于计算的部分，最后再合在一起处理。区间历史和的统计就是利用了类似的想法。

例题：
CF1427G One Billion Shades of Grey

答案的区间性

当一道题的暴力非常好写时，可以先从暴力算法入手，然后考虑优化，其中一个优化的方法就是考虑答案之间是否存在区间性，即一个答案它和满足某些条件的答案是否有一定的条件关系（比如当 $i > j$ 时，必有 $an s [i] \geq an s [j]$ ），从而降低时间复杂度。

这一思想在莫队中有所使用，区间的转移其实就是这样的，还有求了后缀数组 $S A$ 后求 $h e i g h t$ 数组、manacher算法求解最长回文子串，也是运用了同样的方法。

例题：
【NOI2015】品酒大会

归纳法证贪心

当某一个贪心做法没有得到证明时，可以单独拆分出两个相邻节点并进行最优性判断，通过交换操作的先后顺序得到不同的答案，再根据这个答案判断操作的先后顺序，根据这个答案得到的结论可以运用数学归纳法推广到整体，依据结论排序后得到的操作顺序即是最优解的操作顺序。

例题：
皇后游戏
 [yLOI2019] 梅深不见冬

二分答案

二分这一方法可以有效地降 $O (n)$ 降为 $O(\log n)$ ，但前提是二分的对象具有单调性，因此在进行二分前需要先证明单调性（单调不减或者单调不降），并根据题目要求和单调性调整 $l$ 和 $r$ 的值。比较常见和易理解的写法形如：

while(l<=r){
	mid=(l+r)>>1;
	if(check(mid)) ans=mid,l=mid+1;
	else r=mid-1;
}

当然，该写法也可以进行适当的变形，具体情况具体分析。

而要对答案进行二分，首先要证明答案对某一限制具有单调性，其次验证答案的复杂度不能过高。依本人拙见，二分答案其实就是套了个二分的模拟（但是模拟题真的好难写啊！！！！！！），因此在判断答案合法时的代码尤为关键。

例题：
[SHOI2015] 自动刷题机
 [NOIP2011 提高组] 聪明的质监员

玄学做题技巧

数据范围小时

可以从两个方面思考：多维 $d p$ 和暴力求解。而当你经过一番推导之后，发现该题几乎没有好的性质的时候，可以选择直接打暴力——当然，在打完暴力还有时间的情况下，可以去试着证明一下时间复杂度，也许会惊奇地发现看似绝对爆的时间复杂度其实并不会爆。

例题：
卜卦
 Tax

数学相关题目

可以先推式子，推不出来后打暴力，然后通过分析答案性质来反向推出答案的一些规律。

例题：
Koishi Loves Construction

一些可合并的影响传递技巧

若需要维护区间内一些数据的值且值与值之前可能会有贡献，可以考虑使用矩阵维护值，从而使用线段树维护。

例题：
2025 – 苍穹计划 – NOI排位赛 #13 B

一些暴力技巧

在写暴力时，如果需要动态加入元素+查询该元素是否出现过，可以考虑 $se t$ 或者 $ma p$ ，而不是手写一些东西，费时且容易出错。

例题：
[SDOI2016] 墙上的句子

分治技巧

常见分治为二分，像快速幂、归并排序之类的算法都是用到了分治思想。而在进行分治的时候，最重要的是如何快速地将区间答案合并，我们可以通过排序（比如CDQ分治）或者剪枝来优化时间复杂度。

例题：
平面最近点对（加强加强版）
【模板】快速幂
 [Violet] 天使玩偶/SJY摆棋子

DP

状态设计时的一些技巧

当需要求的东西有一些奇奇怪怪的式子时，可以考虑将该式子转化成一些常见的求解内容，比如方案计数。

例题：
[ARC124E] Pass to Next

数位DP

转移时的一些小技巧

转移时，可以通过枚举状态然后判断是否合法来转移，这样写起来更清晰，而且因为数位dp往往转移复杂度不高，可以接受这样的枚举。

例题：
[TJOI2019] 甲苯先生的线段树
 [SDOI2016] 储能表

也可以考虑递归地转移，从答案状态往边界状态找。

例题：
[CQOI2016] 手机号码

网络流

一些优化技巧

当点和边的范围过大时，可以考虑这张图的性质（比如二分图中，左右两边是否有一边的点数很小），模拟网络流求解答案。

例题：
[Ynoi Easy Round 2018] 星野瑠美衣

一些建图技巧

当无脑建图复杂度过高时，可以考虑能否利用网络流的一些性质来让一些路合并在一起，跑贡献的方式类似于差分（这在跑费用流的时候是好理解的）。

例题：
[SNOI2019] 通信
当题目限制“一对一”的时候，可以考虑差分的形式把“一对一”变成“一对多”。

例题：
P2570 [ZJOI2010] 贪吃的老鼠
当题目需要在一个确定的条件下最小化另一个值时，可以考虑费用流，而费用流有两种做法：

传统费用流做法，将确定的条件化为流量，跑最小费用最大流。
利用最小费用最大流的性质，跑满足某些条件的最小费用可行流，即利用费用为负无穷来实现先跑这条边再跑其它边（注意和上下界网络流区分：下界是必须跑的，而这个做法是尽量跑的）。

例题：
CF2046D For the Emperor!

在建图时，若点存在多个状态且不同状态有不同的连边时，可以考虑把点拆成多个点，即从一维点升为二维点，从而更方便的维护某些东西。

例题：
[NOI2012] 美食节
在建图时，要利用好割掉这条边等价于某个选择（比如在二选一的情景中）这一关键信息，从而最小化某些值。

例题：
[ABC397G] Maximize Distance

[ARC142E] Pairing Wizards
在处理一些对区间进行要求的限制时，若数据范围不大，可以考虑求出每个点对应的区间，然后由这个点向符合条件的区间内的点连边。

例题：
[AGC031E] Snuke the Phantom Thief