贪心：皇后游戏_贪心皇后游戏-优快云博客

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题目

分析

在做本题之前，可以先去完成更简单的国王游戏，了解一下类似的贪心想法——通过比较交换相邻两项的位置前后的结果来判断是否需要交换，从而使答案最优。

在分析本题的贪心方法前，我们不妨先思考一个问题——为什么这题可以使用贪心呢？

从宏观来看，可以发现大臣得到的奖金一定是递增的，所以我们其实就是要最小化 $c_n$ ，而根据递推式我们可以发现：

$c_n\geq \sum^{n}_{i=1}a_i+b_n$ ，

分析这个不等式和递推式可以发现，当 $a_n、b_n$ 已经确定下来时， $c_n$ 的最优情况就是 $\sum^{n}_{i=1}a_i+b_n$ ，而前面所有大臣的奖金越小，越有可能达成最优情况，即整体可以拆成局部且局部最优可以推出整体最优，故而可以使用贪心。

但是，此时又有其它问题出现了——如何确定第 $n$ 个大臣，又该如何实现奖金最小呢？

根据局部最优可以推出整体最优，我们自然可以想到通过比较交换相邻两项的位置前后的结果来判断是否调换二者顺序。

于是，我们就要开始推式子了！

当前，我们考虑第 $i$ 项，则有：

交换位置前： $c_i=max\{c_0,a_0+a_i\}+b_i,c_{i+1}=max\{c_i,a_0+a_i+a_{i+1}\}+b_{i+1}$

$\Rightarrow c_{i+1}=max\{max\{c_0,a_0+a_i\}+b_i,a_0+a_i+a_{i+1}\}+b_{i+1}$

$\Rightarrow c_{i+1}=max\{c_0+b_i+b_{i+1},a_0+a_i+b_{i}+b_{i+1},a_0+a_i+a_{i+1}+b_{i+1}\}$

交换位置后： $c_{i+1}=max\{c_0,a_0+a_{i+1}\}+b_{i+1},c_i=max\{c_{i+1},a_0+a_{i}+a_{i+1}\}+b_i$

同理可得： $c_i=max\{c_0+b_i+b_{i+1},a_0+a_{i+1}+b_{i}+b_{i+1},a_0+a_i+a_{i+1}+b_i\}$

因为式子中存在常数项，并且式子为求最大值，所以我们假设不应交换位置，即 $c_{i+1} \leq c_i$ ，则：

$max\{c_0+b_i+b_{i+1},a_0+a_i+b_{i}+b_{i+1},a_0+a_i+a_{i+1}+b_{i+1}\} \leq max\{c_0+b_i+b_{i+1},a_0+a_{i+1}+b_{i}+b_{i+1},a_0+a_i+a_{i+1}+b_i\}$

去除常数项，则：

$max\{a_0+a_i+b_{i}+b_{i+1},a_0+a_i+a_{i+1}+b_{i+1}\} \leq max\{a_0+a_{i+1}+b_{i}+b_{i+1},a_0+a_i+a_{i+1}+b_i\}$

$\Rightarrow max\{a_i+b_i+b_{i+1},a_i+a_{i+1}+b_{i+1}\} \leq max\{a_{i+1}+b_i+b_{i+1},a_i+a_{i+1}+b_i\}$

$\Rightarrow max\{a_{i+1},b_i\}+a_i+b_{i+1} \leq max\{a_i,b_{i+1}\}+a_{i+1}+b_i$

$\Rightarrow max\{a_{i+1},b_i\}-b_i-a_{i+1} \leq max\{a_i,b_{i+1}\}-b_{i+1}-a_i$

$\Rightarrow -min\{a_{i+1},b_i\} \leq -min\{a_i,b_{i+1}\}$

$\Rightarrow min\{a_i,b_{i+1}\} \leq min\{a_{i+1},b_i\}$

但是！ 这个不等式只针对相邻两项，并不具有传递性，故而不能直接用于排序，我们得进行分类，然后推导出每一类中的不等式传递关系以及各类之间的传递关系。所以我们不妨将数据分为三大类： $a_i<b_i、a_i=b_i、a_i>b_i$ 。

当 $a_i<b_i$ 时： $a_i \leq a_{i+1}$ 时不交换位置。

当 $a_i=b_i$ 时：顺序随意。

当 $a_i>b_i$ 时： $b_i \geq b_{i+1}$ 时不交换位置。

当 $a_i<b_i,a_{i+1}=b_{i+1}$ 时，不交换位置。

当 $a_i=b_i,a_{i+1}>b_{i+1}$ 时，不交换位置。

至此，本题已解完了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e4+5;
int T,n,t1,t2,t3;
long long ans[N],x,y,sum;
struct node{
	long long a,b;
}a[N],b[N],c[N];
bool cmp1(node a,node b){
	return a.a<b.a;
}
bool cmp2(node a,node b){
	return a.b>b.b;
}
int main(){
//	freopen("tx.in","r",stdin);
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(b,0,sizeof(b));
		memset(c,0,sizeof(c));
		memset(ans,0,sizeof(ans));
		t1=t2=t3=sum=0;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%lld%lld",&x,&y);
			if(x<y) a[++t1]={x,y};
			else if(x==y) b[++t2]={x,y};
			else c[++t3]={x,y};
		}
		sort(a+1,a+1+t1,cmp1);
		sort(c+1,c+1+t3,cmp2);
		int t=0;
		for(int i=1;i<=t1;i++){
			sum+=a[i].a;
			t++;ans[t]=max(ans[t-1],sum)+a[i].b;
		}
		for(int i=1;i<=t2;i++){
			sum+=b[i].a;
			t++;ans[t]=max(ans[t-1],sum)+b[i].b;
		}
		for(int i=1;i<=t3;i++){
			sum+=c[i].a;
			t++;ans[t]=max(ans[t-1],sum)+c[i].b;
		}
		printf("%lld\n",ans[t]);
	}
	return 0;
}

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