算法导论 - 第25章 每对顶点间的最短路径

每对顶点间的最短路径的算法有三种，每一种都可以检测图是否存在weighg小于0的cycle。

前两种算法用了动态规划的方法，最后一种算法对每个定点计算单源最短路径。

与求单源最短路径的算法不同，求每对顶点间的最短路径的算法采用网的矩阵表示法（除了最后一种算法，最后一种算法采用图的邻接表表示法）。用矩阵W表示一个网，其中矩阵的元素W(i,j)表示顶点i到顶点j的edge的weight。如果顶点i到顶点j之间没有edge，则W(i,j)等于无穷大。W(i,i)等于0。

用n表示图中顶点的个数。

算法1：

用矩阵L(m)来表示每对顶点间的最短路径的weight，每对顶点之间的最短路径最多只有m条edge。

L(1)=W

L(m)(i,j) = min{L(m-1)(i,k) + W(k,j)};k=[1,n]

由于最短路径的长度（指edge的个数，不是只路径的weight）必然小于等于n-1，所以L(n-1)就是我们所需要求的。

L(1) ---> L(2) ---> L(3) ---> L(4) ---> ... ---> L(n-1)

该方法的时间复杂度为O(n^4)。

计算过程中，如果某个矩阵的对角线元素小于0，（对角线元素只能等于0或小于0），说明网中存在weight小于0的cycle。

算法2：

算法2的名字叫Floyd-Warshall  Algorithm。该方法也是采用动态规划的方法。思路与算法1差不多。

用矩阵D(m)来表示每对顶点间的最短路径的weight，每对顶点之间的最短路径的中间结点（也就是最短路径