算法导论 | 第25章 所有结点对的最短路径问题

零、前言

前面讲了单源最短路径问题，指定一个原点一个终点，找到最短路径。但是如果我们要求所有结点对呢？

方案一：可以对每一个结点调用一次单源最短路径算法，一共调用|V|次。（每指定一个原点，可以求出其他任何点到该原点的举例）

对于权值为非负的图，可以调用Dijkstra算法，不同的优先队列实现得到不同的时间复杂度：①线性数组，O(V^3 + VE) = O(V^3)。②二叉堆，O(VElgV),在稀疏图的情况下是一个较大的改进。③斐波那契堆，O(V^2lgV + VE)。

如果有权重为负的边，就要使用Bellman-Ford算法。时间复杂度为O(V^2E),在稀疏图的情况下，时间为O(V^4)。

显然上述方法时间复杂度较大，我们可以利用Floyd-Warshall算法和Johnson算法(用于稀疏图)来求解。

Floyd-Warshall算法用邻接矩阵表示，Johnson算法用邻接表表示。