13、代数几何中的奇点解析与局部坐标应用

代数几何中的奇点解析与局部坐标应用

1. 奇点解析基础

在代数几何里，奇点解析是一个关键课题。我们先来看一些函数的奇点情况。例如有函数：
- (f (u_x, u_xv_x) = (u_xv_x)^2 - u_x^5 = u_x^2(v_x^2 - u_x^3))
- (f (u_yv_y, v_y) = v_y^2 - (u_yv_y)^5 = v_y^2(1 - u_y^5v_y^3))

在第一个函数中，(v_x^2 - u_x^3) 在 ((u_x, v_x) = (0, 0)) 处存在奇点；而第二个函数中的 (1 - u_y^5v_y^3) 是非奇异的。实际上，若采用特定方法进行另一次爆破，(v_x^2 - u_x^3) 能够解决这个奇点问题。对 (1 - u_y^5v_y^3) 关于 (u_y) 和 (v_y) 求导，只有当 (u_y = 0) 或者 (v_y = 0) 时其值为零，但在这两种情况下，(1 - u_y^5v_y^3) 并不为零。

当奇点并非原点时，我们可以先进行坐标的平行移动，然后再进行爆破。比如，对于函数 (y^2 - x^3 + 3x - 2)，当 ((a, b) = (-3, 2)) 时，它仅在 ((1, 0)) 处有奇点。若令 (x \to x + 1)，则有：
(y^2 - x^3 + 3x - 2 = y^2 - (x - 1)^2(x + 2) \to y^2 - (x + 1 - 1)^2(x + 1 + 2) = y^2 - x^2(x + 3))

此时考虑经过平行移动后的原点，函数变为 (y^2 = x^3 + 3x^2)。若 (U_x)、(U_y) 的局部坐标分别为 ((u_x, v