7、数学预备知识：函数连续性、定理及随机变量相关内容

数学预备知识：函数连续性、定理及随机变量相关内容

1. 函数连续性

函数 (f : C(K) \to R) 在 (\varphi = \varphi_a \in C(K)) 处的连续性定义为：对于任意 (\epsilon > 0)，存在 (\delta = \delta(\epsilon, \varphi_a))，使得当 (dist(\varphi, \varphi_a) < \delta) 时，有 (| f (\varphi) - f (\varphi_a)| < \epsilon)。

2. 中值定理与泰勒展开

2.1 中值定理

对于可微函数 (f : R \to R)，若 (a < b)，则存在 (c) 满足 (a < c < b)，使得 (\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = f’(c))。例如，对于 (f (x) = x^2 - 3x + 2)，(a = 2)，(b = 4)，有 (\frac{(b^2 - 3b + 2) - (a^2 - 3a + 2)}{b - a} = a + b - 3 = 3)，(f’(c) = 2c - 3)，此时 (c = 3) 满足条件。

2.2 泰勒定理

若 (f) 直到 ((n - 1)) 阶导数连续且 (n) 次可微，则 (f (b) = f (a) + \frac{f’(a)}{1!}(b - a) + \frac{f’‘(a)}{2!}(b - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!}(b - a)^{n - 1} + R_n)，其中 (R_n =