4、随机变量及其相关概念解析

随机变量及其相关概念解析

1. 随机变量

1.1 随机变量的定义与示例

以抛硬币实验为例，当我们有限次抛硬币时，会产生一些自然的问题，比如正面出现的次数、反面出现的次数、首次出现正面之前反面出现的次数等。对于每次实验的结果，都能回答这些问题。例如，抛 5 次硬币，结果为 TTHHT，那么正面出现 2 次，反面出现 3 次，首次出现正面之前反面出现 2 次。

我们可以把随机变量看作是从样本空间到另一个空间（如整数空间）的映射或函数。例如，对于序列 TTHHT，这个函数会根据我们的问题输出相应的答案。随机变量虽然能将给定输入映射到单个输出，但它的输出空间有相应的分布，这是由于实验本身的随机性导致的，不同输入结果的概率不同，其对应的输出出现的可能性也不同。

同时，多个输入可能映射到同一个输出，比如在图 2 - 3 中，X(HHH) = 3，X(HHTH) 也可能等于 3。

1.2 简单随机变量示例

一种简单的理解方式是将这种映射看作恒等函数。在抛硬币时，将正面编码为 1，反面编码为 0，那么表示抛硬币结果是否为正面的随机变量 C 满足 C(1) = 1；在掷骰子的场景中，随机变量 D 满足 D(5) = 5，即映射输出与掷出的结果相同。

1.3 随机变量在深度学习中的应用

随机变量及其分布在深度学习和机器学习中起着至关重要的作用。以神经网络中的 dropout 技术为例，在训练过程中，dropout 层会以一定概率独立随机地屏蔽上一层的每个神经元，防止网络过度依赖特定的连接或子网络。我们可以将上一层的每个神经元看作一个类似抛硬币的实验，不同的是，这里我们设定了实验的概率，而不