26、贝叶斯决策理论：损失函数、A/B 测试与多臂老虎机问题

贝叶斯决策理论：损失函数、A/B 测试与多臂老虎机问题

在机器学习和决策理论中，贝叶斯决策理论是一个强大的工具，它帮助我们在面对不确定性时做出最优决策。本文将深入探讨贝叶斯决策理论中的损失函数、A/B 测试以及多臂老虎机问题。

1. 损失函数

在机器学习中，损失函数用于衡量预测值与真实值之间的差异。不同的损失函数对异常值的敏感度不同，下面介绍几种常见的损失函数。

1.1 L1 损失

L2 损失对偏离真实值的偏差进行二次惩罚，因此对异常值非常敏感。而 L1 损失则更加稳健，其定义为：
[
\ell_1(h, a) = |h - a|
]
L1 损失的最优估计是后验中位数，即满足 (Pr(h < a|x) = Pr(h \geq a|x) = 0.5) 的值 (a)。我们可以将其用于稳健回归。

1.2 Huber 损失

Huber 损失是另一种稳健的损失函数，定义如下：
[
\ell_{\delta}(h, a) =
\begin{cases}
r^2/2, & \text{if } |r| \leq \delta \
\delta|r| - \delta^2/2, & \text{if } |r| > \delta
\end{cases}
]
其中 (r = h - a)。当误差小于 (\delta) 时，Huber 损失等价于 L2 损失；当误差大于 (\delta) 时，等价于 L1 损失。我们也可以将其用于稳健回归。

1.3 概率预测问题中的