5、材料点法与分层位置动力学模拟技术解析

材料点法与分层位置动力学模拟技术解析

1. 材料点法（MPM）基础

1.1 应力 - 应变关系

材料的应力 - 应变关系是模拟固体变形的关键基础，其表达式为：
[
\frac{D\sigma}{Dt} = 2G(\dot{\epsilon} - \frac{1}{3}Tr(\dot{\epsilon})I) + K\dot{\epsilon} + \omega\sigma - \sigma\omega - \dot{\lambda}(3\alpha\psi KI + \frac{G}{\sqrt{J_2}}s)
]
其中，(\dot{\lambda}) 是塑性乘子的变化率，其值根据条件不同而有所变化：
[
\dot{\lambda} =
\begin{cases}
\frac{3\alpha\varphi KTr(\dot{\epsilon}) + (G/\sqrt{J_2})s : \dot{\epsilon}}{9\alpha\varphi\alpha\psi K + G}, & f(I_1, J_2) > 0 \
0, & f(I_1, J_2) \leq 0
\end{cases}
]

1.2 材料点法原理

材料点法（MPM）利用粒子（材料点）来追踪质量、动量和应力。具体而言，粒子 (p) 包含位置 (x_p)、速度 (v_p)、质量 (m_p) 和应力 (\sigma)。通过拉格朗日方法处理这些量，使得推进步骤相对简单。为了计算速度和应力的空间导数，使用规则的背景欧拉网格。

1.3 插值方案