Lp空间和L范数

最新推荐文章于 2025-10-13 12:43:22 发布

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#Lp空间 #L范数 #L1范数 #L2范数 #Lp范数

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本文介绍了Lp空间的概念及其组成部分——L范数。包括L1、L2及通用Lp范数的定义与计算方法，并解释了范数在向量分析中的作用。

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1. Lp空间和L范数

1.1 Lp空间： Lp空间是由p次可积函数组成的空间；

1.2 L范数：给定向量

L1范数：向量各个元素绝对值之和

L2范数：向量各个元素的平方求和然后求平方根

Lp范数：向量各个元素绝对值的p次方求和然后求1/p 次方

范数：向量各个元素求绝对值，最大那个元素的绝对值

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范数，LP范数

Luke的学习笔记

05-27

1172

L2L_2L2范数和L1L_1L1范数都是更一般的LpL_pLp范数的特例： ∥x∥p=(∑i=1n∣xi∣p)1/p.\|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_{i=1}^n \left|x_i \right|^p \right)^{1/p}.∥x∥p=(i=1∑n∣xi∣p)1/p. L2L_2L2范数：假设nnn维向量x\mathbf{x}x中的元素是x1,…,xnx_1,\ldots,x_nx1,…,xn，其[L2L_2L2范数是向量元素平方和的平方根：] ∥

L Norms 范数

joymakleson的博客

08-05

1805

Norms 范数L1L^1L1 范数L2L^2L2 范数L∞L^\infinL∞ 范数Frobenius 范数在机器学习中，我们经常使用被称为范数（ norm）的函数衡量向量大小。LpL^pLp 范数定义如下：∥x∥p=(∑i∣xi∣p)1p\|\boldsymbol{x}\|_p=\Big(\displaystyle\sum_i|x_i|^p\Big)^\frac{1}{p}∥x∥p=(i∑∣xi∣p)p1其中 p∈R，p≥1p\in\mathbb{R}，p\geq 1p∈R，p≥1 范数是将向

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泛函分析笔记(八)Banach 空间中的lp空间和Lebesgue空间 (勒贝格空间)

最新发布

ee345的博客

10-13

本文探讨了基于Lp范数的资源中心最优定位方法及其在城市规划中的应用，提出通过敏感性分析评估需求点对中心位置的影响，并发现一维情况下影响与距离之间存在对数线性关系。同时，研究了深层重力斜坡变形（DSGSD）的特征及形成机制，以意大利Episcopia村为例，结合地质地貌数据与In-SAR干涉测量分析，揭示了大型DSGSD的几何形态与深度。研究表明，不同Lp范数对应不同的规划目标（如效率、公平），而DSGSD的研究有助于提升城市地质安全。未来可进一步拓展非常规范数的应用并加强DSGSD的长期监测与预测。

21、L1-和L∞-空间：理论与应用

gg901的博客

09-19

本文系统探讨了L1-和L∞-空间在度量空间理论中的性质与应用。文章分析了不同p值下(R^n, d_p)空间的测地线唯一性，介绍了L∞空间中的Kuratowski嵌入与函数插值方法，以及Lp空间中基于测度的度量构造。重点阐述了概率测度空间上的1-Wasserstein度量及其插值特性，并对比了Lp函数空间与Wasserstein空间在测地线和嵌入性方面的差异。最后，文章探讨了这些理论在统计学、物理学和计算机科学等领域的潜在应用，展示了其在数据分布比较、运动轨迹建模和机器学习中的广泛价值。

泛函分析知识总结汇总.doc

11-26

泛函分析知识点总结学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

正则化 LP、L1、L2范数

分享学习期间的笔记心得

10-15

2701

正则化的本质很简单，就是对某一问题加以先验的限制或约束以达到某种特定目的的一种手段或操作。在算法中使用正则化的目的是防止模型出现过拟合。

测度论与概率论基础学习笔记9——3.3Lp空间

wjpwjpwjp0831的博客

04-23

1万+

Lp空间在泛函分析中比较详细地讲述过（但我没有详细地学过），这里更多作一点重复。 1.Lp空间定义设(X,F,μ)(X,\mathscr F,\mu)(X,F,μ)是一测度空间，定义其上绝对值p次幂可积的函数(p≥1p\ge1p≥1）的全体集合为Lp(X,F,μ)L^p(X,\mathscr F,\mu)Lp(X,F,μ)。也即LpL^pLp中的函数满足： ∫X∣f∣pdμ<∞\int_X |f|^p d\mu < \infty∫X∣f∣pdμ<∞ 2.Lp空间是Banach空间要论

泛函分析笔记06：Lp与lp空间

lanlingmuzichun的博客

11-05

1万+

本文主要给出Lp和lp空间的定义及性质

核范数和l1范数_关于范数的知识整理

weixin_35968185的博客

01-14

3066

向量的范数：向量范数是定义了向量的类似于长度的性质，满足正定，齐次，三角不等式的关系就称作范数。向量的范数一般有L0, L1, L2与L_infinity范数,L0范数:定义为即非0元素个数。L0范数表示向量中非零元素的个数。如果我们使用L0来规则化参数向量w，就是希望w的元素大部分都为零。L0范数的这个属性，使其非常适用于机器学习中的稀疏编码。在特征选择中，通过最小化L0范数来寻找最少最优的稀疏...

【向量范数】详解常用的向量范数

程序星空实验室

07-05

8599

对应于闵可夫斯基距离(Minkowski distance)，假设维向量，其Lp范数记作，定义为：假设维向量，其L0范数记作，定义为：L0范数表示向量中非零项的个数，当P=1时，也就是L1范数，对应曼哈顿距离(Manhattan distance)，假设维向量，其L1范数记作，定义为： L1范数表示向量中各个元素绝对值之和，L2范数是最常用的范数，它表示从原点出发到向量确定的点的欧几里得距离。可用于优化正则化项，避免过拟合。无穷范数主要被用来度量向量中元素的最大值。...

可测函数空间与L^p空间

Major_S的博客

02-10

1276

LpL^pLp空间是指由所有在给定测度空间上可测的函数组成的空间，这些函数满足一个特定的可积条件。具体来说，定义如下：对于一个测度空间XAμXAμ，设p≥1p \geq 1p≥1，函数fff属于LpXL^p(X)LpX∫X∣fx∣pdμx∞∫X∣fx∣pdμx∞.这意味着函数fff在空间XXX上的ppp-次方绝对值的积分是有限的。范数：在LpL^pLp空间中，定义函数fff的L。

L^p空间的性质的总结

b0745757的博客

08-19

3531

　　主要参考一般测度论和Brezis的泛函分析第4章. L^p 空间对于pde来讲是非常重要的空间，它的性质也是非常丰富的（特别是强收敛，弱收敛等性质），一般散落于各种文献之中，现在趁着教实分析的机会将他们熔之一炉，方便查阅。转载于:https://www.cnblogs.com/Analysis-PDE/p/11376484.html...

第三方物流LLP ( lead logistics partner)

congxuan3951的博客

10-25

1387

通过对国外先进的入厂物流系统的研究 ,发现国外一些大型汽车制造企业近几年开始和一些专业物流公司进行了采购物流战略性的合作 ,这种模式与一般意义上的第三方物流供货商 ( logistics p ro2vider)有很大不同 , 将...

L1范数和L2范数是什么

03-15

<think>嗯，用户想了解L1范数和L2范数。首先，我需要回忆一下这两个概念的定义和区别。L1范数应该就是向量各元素的绝对值之和，而L2范数是欧几里得范数，平方和的平方根。对吧？接下来，得考虑用户可能的背景。他们可能是刚开始学习机器学习或者优化方面的内容，因为在正则化中经常用到L1和L2。所以需要解释清楚两者的数学形式和应用场景。然后，用户可能需要知道两者的区别，比如稀疏性和鲁棒性。比如L1倾向于产生稀疏解，这在特征选择中有用，而L2防止过拟合，计算上更平滑。这部分需要详细说明，但要注意用例子帮助理解。还有，应用实例部分，比如Lasso回归和Ridge回归，这会让用户更容易联系实际。同时，几何解释可能也有帮助，比如L1在二维空间是菱形，L2是圆形，这样约束下的最优点位置不同。需要检查数学公式是否正确，按照用户的要求，行内公式用$...$，独立公式用$$...$$。比如L1是$\| \mathbf{x} \|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$，L2是$\| \mathbf{x} \|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$。对吗？还要注意语法正确，比如绝对值符号用|，平方根用\sqrt，向量用\mathbf。另外，是否需要提到其他范数，比如L0或Lp？可能不需要，用户只问了L1和L2。可能需要提到计算上的差异，比如L2可导，容易优化，而L1在零点不可导，使用次梯度等方法。这也是为什么L1能产生稀疏解的原因，因为优化时会倾向于某些维度为零。总结部分要对比两者的优缺点和应用场景，确保用户能根据需求选择。比如特征选择多选L1，防止过拟合选L2，或者结合成Elastic Net。最后，检查结构是否清晰，分点是否明确，有没有使用中文术语准确，比如“正则化”、“稀疏解”、“过拟合”等。确保回答符合用户的要求，步骤清晰，帮助理解。</think>### L1范数与L2范数介绍 #### 1. **基本定义** - **L1范数**（曼哈顿范数）：对于向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n)$，L1范数是其各分量绝对值的和： $$\| \mathbf{x} \|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$$ 例如：向量 $(3, -4)$ 的L1范数为 $|3| + |-4| = 7$。 - **L2范数**（欧几里得范数）： L2范数是向量各分量平方和的平方根： $$\| \mathbf{x} \|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$$ 例如：向量 $(3, 4)$ 的L2范数为 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。 --- #### 2. **几何意义** - **L1范数**在几何上表现为“菱形”或“钻石形”边界（二维时）。 **L2范数**表现为“圆形”边界（二维时），高维时为超球面。 **示例**：若约束条件为 $\| \mathbf{x} \|_1 \leq 1$，解集是顶点在坐标轴上的菱形；若为 $\| \mathbf{x} \|_2 \leq 1$，解集是一个圆。 --- #### 3. **特性对比** | 特性 | L1范数 | L2范数 | |---------------------|--------------------------------|--------------------------------| | **稀疏性** | 倾向于产生稀疏解（部分分量为0） | 通常产生非稀疏解 | | **计算复杂度** | 优化时需用特殊方法（如坐标下降）| 可导，易于梯度下降等优化算法 | | **抗噪声能力** | 对离群值更鲁棒 | 对离群值敏感 | | **几何边界平滑性** | 有尖角（非光滑） | 光滑 | --- #### 4. **典型应用场景** - **L1范数**： - **特征选择**：如Lasso回归（$ \min \| \mathbf{y} - X\mathbf{\beta} \|_2^2 + \lambda \| \mathbf{\beta} \|_1 $），通过稀疏性筛选重要特征。 - **鲁棒回归**：在噪声较多时减少异常点影响。 - **L2范数**： - **防止过拟合**：如Ridge回归（$ \min \| \mathbf{y} - X\mathbf{\beta} \|_2^2 + \lambda \| \mathbf{\beta} \|_2^2 $），通过平滑约束降低模型复杂度。 - **物理意义明确**：常用于距离、能量等场景。 --- #### 5. **直观理解示例** - **稀疏性示例**：假设优化问题要求 $\mathbf{\beta}$ 满足 $\| \mathbf{\beta} \|_1 \leq t$，最优解可能在坐标轴上（即某些分量为0）；而L2约束的最优解更可能接近原点但不严格为0。 - **几何优化示例**：下图展示在约束 $\| \mathbf{\beta} \|_1 \leq t$（蓝色菱形）和 $\| \mathbf{\beta} \|_2 \leq t$（红色圆）下，损失函数等高线（椭圆）的最优解（交点）： - L1的解更可能位于顶点（稀疏），L2的解位于边界某点（非稀疏）。 --- #### 6. **总结** - **选择依据**： - 需要特征选择或稀疏性 → **L1范数**（如Lasso）。 - 需要平滑解或避免过拟合 → **L2范数**（如Ridge）。 - 二者结合 → **弹性网络（Elastic Net）**（同时用L1和L2正则化）。