逻辑回归(Logistic Regression)

2.1分类问题

在分类问题中，我们尝试预测的是结果是否属于某一个类（例如正确或错误）。分类问题的例子有：判断一封电子邮件是否是垃圾邮件；判断一次金融交易是否是欺诈等等。
我们从二元的分类问题开始讨论。
我们将因变量(dependant variable)可能属于的两个类分别称为负向类（negative class）和正向类（positive class），则因变量

其中 0 表示负向类，1 表示正向类。
2.2 假说表示

回顾在一开始提到的乳腺癌分类问题，我们可以用线性回归的方法求出适合数据的一条直线：

根据线性回归模型我们只能预测连续的值，然而对于分类问题，我们需要输出0或1，我们可以预测：
当hθ大于等于0.5时，预测 y=1
当hθ小于0.5时，预测 y=0 对于上图所示的数据，这样的一个线性模型似乎能很好地完成分类任务。假使我们又观测到一个非常大尺寸的恶性肿瘤，将其作为实例加入到我们的训练集中来，这将使得我们获得一条新的直线。

这时，再使用0.5作为阀值来预测肿瘤是良性还是恶性便不合适了。可以看出，线性回归模型，因为其预测的值可以超越[0,1]的范围，并不适合解决这样的问题。
我们引入一个新的模型，逻辑回归，该模型的输出变量范围始终在0和1之间。 逻辑回归模型的假设是：hθ(x)=g(θTX)
其中：
X 代表特征向量
g 代表逻辑函数（logistic function）是一个常用的逻辑函数为S形函数（Sigmoid function），公式为：