ZJU1602 区间DP记忆化搜索解法

题目来源：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=1602

 

中文大意：

乘法游戏是在一行牌上进行的。每一张牌包括了一个正整数。在每一个移动中，玩家拿出一张牌，得分是用它的数字乘以它左边和右边的数，所以不允许拿第1张和最后1张牌。最后一次移动后，这里只剩下两张牌。
目标是使得分的和最小。
例如，如果数是10 1 50 20 5，依次拿1、20、50，总分是10*1*50+50*20*5+10*50*5=8000
而拿50、20、1，总分是1*50*20+1*20*5+10*1*5=1150。

输入第一行包括牌数(3<=n<=100)，第二行包括N个1-100的整数，用空格分开。
处理到文件结束。输出每一组数据一行：最小得分样例输入
6
10 1 50 50 20 5

样例输出

3650

 

题目解法：

当我们从最后一步去倒推的时候就可以发现，比如最后一个拿走1，这一列数可以得到的最小分数是10*1*5+拿走1到5的总分+拿走10到1的总分。这与你如何拿走1到5和拿走10到1没有关系，符合DP的无后效性。于是，我们可以根据此写出DP的递推式：

f[i,j]=min{f[i,k]+f[k,j]}+card[i]*card[k]*card[j]

(i<k<j)

其中f[i,j]表示拿走第i张牌与第j张牌之间的牌最小的得分，card[i]表示的i张牌的分数。我们通过枚举最后一个拿走的牌k就可以求出f[i,j]的最小值。最后答案为f[1,n]。

懂题意后记忆化搜索的方法比较容易思考，毕竟这个需要考虑步长，不太容易想到递推写法。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long dp[103][103];
int card[103];

long long dfs(int i,int j){
	if(dp[i][j]!=-1) return dp[i][j];
	else{
		dp[i][j]=99999999;
	    for(int k=i+1;k<j;k++){
		    dp[i][j]=min(dp[i][j],(dfs(i,k)+dfs(k,j)+card[i]*card[k]*card[j]));
		   // cout<<"i="<<i<<"  j="<<j<<"  dp="<<dp[i][j]<<endl;
	    }
		return dp[i][j];    
    }

}

int main(void){
	int n;
	cin>>n;
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i][i]=0;
		dp[i][i+1]=0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>card[i];
	}
	cout<<dfs(1,n)<<endl;
	/*
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cout<<dp[i][j]<<" ";
		}cout<<endl;
	}
	*/
	return 0;
}

附上http://blog.youkuaiyun.com/a342374071/article/details/6621401  大神的递推代码做对比。（其实到现在我也没明白记忆化搜索和递推式比效率到底低多少）

#include<iostream>  
#include<cstring>  
#define M 101  
using namespace std;  
/* 
2588443 2011-07-20 22:40:30 Accepted  1602 C++ 0 188 ashione  
题目解法： 
 
当我们从最后一步去倒推的时候就可以发现，比如最后一个拿走1， 
这一列数可以得到的最小分数是10*1*5+拿走1到5的总分+拿走10到1的总分。 
这与你如何拿走1到5和拿走10到1没有关系，符合DP的无后效性。 
于是，我们可以根据此写出DP的递推式： 
 
sorce[i][j]=min{sorce[i,k]+sorce[k][j]}+card[i]*card[k]*card[j] (i<k<j) 
 
其中sorce[i,j]表示拿走第i张牌与第j张牌之间的牌最小的得分，card[i]表示的i张牌的分数。 
我们通过枚举最后一个拿走的牌k就可以求出sorce[i][j]的最小值。最后答案为sorce[1][n]。 
 
其中delta为步长增量，由1->（n-1）递增。 
 
*/  
int main(){  
    int sorce[M][M],card[M],i,j,k,delta,n;  
    while(cin>>n){  
  
        for(i=1;i<=n;i++)  
            cin>>card[i];  
  
        memset(sorce,0,sizeof(sorce));  
  
        for(delta=1;delta<n;delta++){  
  
            for(i=1;i<=n-delta;i++){  
  
                j=i+delta;  
  
                for(k=i+1;k<j;k++){  
  
                    int t=card[i]*card[k]*card[j]+sorce[i][k]+sorce[k][j];  
  
                    if(t<sorce[i][j] || sorce[i][j]==0)  
                        sorce[i][j]=t;  
                }  
            }  
        }  
  
        cout<<sorce[1][n]<<endl;  
    }  
    return 0;  
}