树状数组系列

树状数组 binary indexed tree的应用：
适合解决单点更新，区间求和，更新情况少的场景。 求和时间复杂度logn
如果是更新则需要n

树状数组为了方便，数组下标从1开始。对于已知数组a[i] ，重新构建一个c[i]. 其中c[i]=a[i-2^k+1]+…+a[i];
其中k是一个数的二进制表示中从右边数遇到1之前0的个数比如对于数字4(100） k=2.
2^k可以用O(1)求出来

public int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

c[i]=a[i-lowbit(i)+1]+…+a[i];

//init c array
for(int j=i-lowbit(i)+1;j<=i;j++){
	c[i]+=a[j];
}

update 操作

//update add  v to index i
public void update(int i,int v){
	while(int i<=n){
		c[i]+=v;
		i+=lowbit(i);
	}
}

求和操作

求从1到x整个区间的和
public int sum(int x){
int ans=0;
	while(x>0){
		sum+=c[x];
		x-=lowbit(x);
	}
}

最终代码：

public class BinaryIndexedTree {

    private int [] a;  //index from 1
    private int [] c;

    private int n;
    public BinaryIndexedTree(int [] array){

        this.n=array.length;
        a=new int[n+1];
        c=new int[n+1];

        for(int i=0;i<n;i++){
            a[i+1]=array[i];
        }

        init();
    }

    private int lowbit(int x){
        return x&(-x);
    }

    private void init(){

        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=i-lowbit(i)+1;j<=i;j++){
                c[i]+=a[j];
            }
        }
    }

    public void update(int i,int v){

        while(i<=n){
            c[i]+=v;
            i+=lowbit(i);
        }
    }

    public int sum(int i){
        int ans=0;
        while(i>0){
            ans+=c[i];
            i-=lowbit(i);
        }
        return ans;
    }
}

树状数组的几个典型应用场景：

1. 求 [m,n] 区间和

直接 sum(n)-sum(m-1);

2. 求逆序对
3. 有时候树状数组还和离散化相结合，因为如果数字很大的话，直接创建很大的数组，开销很大。所以需要离散化，进行映射，节省空间和时间。