基于神经网络的QMF滤波器组设计

基于神经网络的2通道正交镜像滤波器组设计

摘要

通过实值无限冲激响应全通滤波器的组合，可以高效地构建无混叠和幅度失真的两通道正交镜像滤波器组。因此，滤波器组的设计问题转化为寻求全通滤波器系数的相位误差最小化。本文采用基于神经网络的李雅普诺夫能量函数与所设计的全通滤波器系数的目标函数相关联。根据神经网络的结构以及霍普菲尔德相关参数的适当选择，当网络达到收敛时，即可获得全通滤波器系数。进一步利用所设计全通滤波器的适当组合，可高效实现具有完全重建特性的两通道正交镜像滤波器组。仿真结果表明，该基于神经网络的方法在幅度和群延迟响应方面具有令人满意的性能，并且能够以并行方式实现。

关键词 全通滤波器, 无限冲激响应, 李雅普诺夫能量函数, 神经网络, 正交镜像滤波

1 | 引言

由于其高效的多相实现以及灵活的频率特性，2通道正交镜像滤波（QMF）滤波器组受到了广泛的关注和研究。在过去的几十年中，正交镜像滤波器组已被应用于各种信号处理领域1-7，如音频和语音的子带编码、通信系统、图像压缩、小波基的设计、生物医学工程以及多速率信号处理系统。在设计2通道QMF滤波器组时，必须消除或最小化三种类型的失真：混叠失真、幅度失真和相位失真。传统上，通常使用有限冲激响应或无限冲激响应（IIR）滤波器来设计构成QMF滤波器组系统基础的低通分析原型滤波器，以消除混叠失真。直接优化原型滤波器会带来高度非线性的优化问题7，因此无法保证分析滤波器系数的最优设计。此外，原型滤波器的设计同时会产生幅度失真和相位失真。

最近的研究7-29表明，无混叠的2通道QMF滤波器组可以通过一系列互连的IIR全通滤波器高效地建立。由于全通滤波器可以保持单位幅度和规定的相位，QMF滤波器组设计可简化为求解全通滤波器的相位逼近问题，而不会产生幅度失真。因此，基于IIR全通滤波器的QMF滤波器组设计具有较低的计算负担，并且在多个方面其设计性能优于有限冲激响应原型滤波器设计。13

劳森和克鲁切‐杰迪德11,12提出了一种计算高效的方法，分别优化正切相位函数的分子和分母，从而得到闭式表达式。由于所设计的两个IIR全通滤波器具有符号相反的相同系数，滤波器灵活性和设计精度受到较大限制，因此整体QMF滤波器组导致较大的相位误差和群延迟响应。在文献中，15 QMF滤波器组设计问题被表述为基于非线性极小极大算法并结合卡马尔卡尔算法的一种变体来求解IIR全通滤波器的实值系数。最优滤波器系数通过频率采样和迭代逼近方法高效地获得。然而，本文提出的算法在最小化过程中需要反复进行矩阵求逆，因此随着滤波器长度的增加，计算复杂度显著上升。

在之前的研究中，25作者提出了一种替代性的神经小成分分析算法，用于设计具有精确性能和简单性的基于 IIR全通的QMF滤波器组。该神经学习规则通过迭代实现对应于所设计规范协方差矩阵最小特征值的特征滤波器设计。由于仅需计算一个特征向量，设计流程高效。然而，设计性能主要受限于合适的参考频率的选择。在文献中，26基于全通的QMF滤波器组通过求解与托普利茨加汉克尔矩阵相关的一组线性方程的闭式解来实现。结合三角恒等式的基于线性代数的简化可显著降低计算负担并实现精确性能。

最小二乘法（LS）9,26,30-38和极小极大逼近36,39常被用于IIR全通滤波器的设计。由于目标函数的高度非线性，上述数值方法可能无法实现最优设计。因此，已提出若干方法，如非线性、受自然启发的以及无导数优化技术35,37,38,40-48，以设计出性能更优的各种数字滤波器。在文献中，35,37,44,46作者应用反馈神经网络49-52显著降低了计算负担，并精确实现了与传统方法相同的设计结果。基于神经网络的方法的优点包括快速收敛、优异的数值逼近能力以及实时处理能力。尽管受自然启发的优化技术具备这些优点，但其主要问题在于求解原型滤波器的非线性优化问题，因此计算效率受到完全限制。

设计具有低重建误差和低群延迟的2通道QMF滤波器组在数字信号处理领域中日益受到关注并具有广泛应用。本文提出一种基于霍普菲尔德神经网络的规则且简化的结构，用于实现基于IIR全通滤波器的QMF滤波器组的最小二乘设计，具备精确的性能和有效性。本文结构如下：第2节简要介绍了基于IIR全通滤波器的2通道QMF滤波器组的最小二乘设计；第3节详细阐述了应用于基于实值IIR全通滤波器的2通道QMF滤波器组设计的霍普菲尔德神经网络；第4节通过与通用最小二乘方法设计的结果进行比较，展示了本文提出的基于神经网络的算法的性能；最后，第5节给出了本文的结论。

使用全通滤波器的QMF滤波器组设计问题表述

2通道QMF滤波器组的系统架构由分析系统和综合系统组成，如图1所示。在分析系统中，一个信号分别通过低通滤波器H0(z)和高通滤波器H1(z)被分解为1个低频分量和1个高频分量。2通道QMF滤波器组的重建信号可简单表示为15,25,26,46

$$
Xb \left(z \right) = \frac{1}{2} \left[ H_0 \left(z \right)G_0 \left(z \right) + H_1 \left(z \right)G_1 \left(z \right) \right] X \left(z \right) + \frac{1}{2} \left[ H_0 \left( -z\right)G_0 \left(z \right) + H_1 \left( -z\right)G_1 \left(z \right) \right] X \left( -z\right); \tag{1}
$$

其中第一项表示期望的线性时不变响应，第二项表示由于采样率转换引起的混叠失真。

由于H1(z)相对于四分之一频率 ω= π/2是H0(z)的镜像，因此满足关系式H0(z) = H1( −z)。在综合系统中，通过适当地选择综合滤波器以满足G0(z) = H1( −z)和G1( z) = − H0( −z)的条件，可以完全消除混叠失真。因此，无混叠的2通道QMF滤波器组的传递函数可表示为15,25,26,46

$$
Xb \left(z \right) = \frac{1}{2} H^2_0 \left( -z\right) \left[ \right]X \left(z \right) = \frac{1}{2}M \left(z \right) X \left(z \right): \tag{2}
$$

显然，2通道QMF滤波器组可以通过设计单一的低通分析滤波器H0(z)进行等效简化。此外，重建信号的幅值质量也很大程度上依赖于低通滤波器H0(z)的设计。因此，M(ej ω)必须具有线性相位响应和纯延迟，以减小幅度失真。

然而，在最小二乘意义下将M(ej ω)逼近为单位幅值响应时，会得到关于低通分析滤波器的四次函数。这涉及高度非线性优化，并且计算代价较高；因此，无法保证获得最优设计。

在一些研究中，9,12,15,17-20,23,25,26，IIR全通滤波器的互连结构在设计完全重建2通道QMF滤波器组方面引起了广泛关注。使用IIR全通滤波器设计QMF滤波器组具有诸多优点，如近似线性相位响应、较低的计算负担、高效的多相实现方式，并且不会产生幅度失真。图2展示了基于IIR全通滤波器的2通道QMF滤波器组的系统架构。如下所示的2通道QMF滤波器组的分析滤波器，可以基于IIR全通滤波器A1(z 2)和A2(z 2)9,12,15,19,25,26的组合来替代实现。

$$
H_0 \left(z \right) = \frac{A_1 \left(z^2\right) + z^{-1}A_2 \left(z^2\right)}{2}; \tag{3}
$$

$$
H_1 \left(z \right) = \frac{A_1 \left(z^2\right)-z^{-1}A_2 \left(z^2\right)}{2}: \tag{4}
$$

利用全通滤波器的框架，2通道QMF滤波器组输出的频率响应可以简化为

$$
Xb \left(e^{j \omega}\right) = \frac{1}{2} e^{-j \omega} \left[ A_1 \left(e^{j 2\omega}\right) A_2 \left(e^{j 2\omega}\right) \right] X \left(e^{j \omega}\right): \tag{5}
$$

基于全通的QMF滤波器组的幅值响应表示为

$$
M \left(e^{j \omega}\right) = \frac{1}{2} e^{-j \omega} A_1 \left(e^{j 2\omega}\right) A_2 \left(e^{j 2\omega}\right): \tag{6}
$$

显然，由于A1(e j 2ω)和A2(e j 2ω)均为具有单位幅度的全通滤波器，整个QMF滤波器组无幅度失真。基于全通滤波器的QMF滤波器组设计主要关注的是确定全通滤波器的系数，以使其相位响应M(ejω)能够充分逼近期望的相位。

通常，具有实值系数ai(n)的IIR全通滤波器Ai(z 2)，i = 1，2，其频率响应为12,15,25,26：

$$
A_i \left( e^{j 2 \omega}\right) = e^{-j2N_i \omega} \frac{a_i \left( 0\right) + a_i \left( 1\right) e^{j 2 \omega} + \cdots+ a_i \left(N_i\right) e^{j 2N_i \omega}}{a_i \left( 0\right) + a_i \left( 1\right) e^{-j 2 \omega} + \cdots+ a_i \left(N_i\right) e^{-j 2N_i \omega}} = e^{j \theta_i \left( \omega\right)}; i = 1, 2; \tag{7}
$$

其中 Ni，i= 1、2 为滤波器长度。显然，Ai(e j 2ω) 的相位响应很容易得到

$$
\theta_i \left( \omega\right) = -2N_i\omega + 2 \tan^{-1} \left(\frac{\sum_{n=1}^{N_i} a_i \left( n\right) \sin \left(2 n\omega \right)}{1 + \sum_{n=1}^{N_i} a_i \left( n\right) \cos \left(2 n\omega \right)} \right); \tag{8}
$$

其中 ai(0) = 1，i = 1，2。将(3)和(4)中的 z 替换为 = ej ω 并代入(7)，可得低通和高通分析滤波器

$$
H_0 \left(e^{j \omega}\right) = \frac{e^{j \theta_1 \left( \omega\right)} + e^{-j \omega} e^{j \theta_2 \left( \omega\right)}}{2} = e^{j \frac{\theta_1 \left( \omega\right)+ \theta_2 \left( \omega\right) - \omega}{2}} \cos \left(\frac{\theta_1 \left( \omega\right)-\theta_2 \left( \omega\right) + \omega}{2}\right) \tag{9}
$$

and

$$
H_1 \left(e^{j \omega}\right) = \frac{e^{j \theta_1 \left(\omega \right)} -e^{-j \omega} e^{j \theta_2 \left( \omega\right)}}{2} =j e^{j \frac{\theta_1 \left( \omega\right)+ \theta_2 \left( \omega\right) - \omega}{2}} \sin \left(\frac{\theta_1 \left( \omega\right)-\theta_2 \left( \omega\right) + \omega}{2}\right); \tag{10}
$$

分别为。为了满足H0(ejω)和H1(ejω)分别是低通和高通分析滤波器，若干研究15,25,26表明，以下所示的两个相位约束可以满足设计要求和稳定性。

情况（1）：N1= N2= N。

$$
\theta_{d,1} \left( \omega\right) = -2N_1 \omega-\omega/2 \
\theta_{d,2} \left( \omega\right) = -2N_2 \omega + \omega/2 \quad \text{for } 0\leq\omega\leq\omega_p; \
\theta_{d,1} \left( \omega\right) = -2N_1 \omega-\omega/2 + \pi/2 \
\theta_{d,2} \left( \omega\right) = -2N_2 \omega + \omega/2-\pi/2 \quad \text{for } \omega_s\leq\omega\leq\pi \tag{11}
$$

情况（2）：N1= N2+ 1。

$$
\theta_{d,1} \left( \omega\right) = -2N_1 \omega + \omega/2 \
\theta_{d,2} \left( \omega\right) = -2N_2 \omega-\omega/2 \quad \text{for } 0\leq\omega\leq\omega_p; \
\theta_{d,1} \left( \omega\right) = -2N_1 \omega + \omega/2-\pi/2 \
\theta_{d,2} \left( \omega\right) = -2N_2 \omega-\omega/2 + \pi/2 \quad \text{for } \omega_s\leq\omega\leq\pi \tag{12}
$$

其中 ωp 和 ωs 分别表示 H0(ejω) 的通带和阻带边缘频率。

因此基于全通滤波器的2通道QMF滤波器组的整体幅值响应变为 es

$$
M \left( e^{j \omega}\right) = \frac{1}{2} e^{j \left(-\omega+\theta_{d,1} \left( \omega\right)+\theta_{d,2} \left(\omega \right)\right)} \left[ \right] = \frac{1}{2} e^{-j \left(2N_1+2N_2+1 \right) \omega}: \tag{13}
$$

所设计的QMF滤波器组具有线性相位响应，且不会引入任何幅度失真。因此，2通道QMF滤波器组的原型设计可以简化为确定满足(11)和(12)中期望相位响应的IIR全通滤波器。

使用霍普菲尔德神经网络设计实值IIR全通QMF滤波器组

多种方法已被用于设计IIR全通滤波器。在文献中，利用李雅普诺夫能量函数以并行方式设计具有良好性能的IIR全通滤波器。本文将霍普菲尔德神经网络扩展用于设计基于IIR全通滤波器的2通道线性相位QMF滤波器组。

3.1 | 使用IIR全通滤波器的QMF滤波器组设计

使用IIR全通滤波器设计2通道QMF滤波器组时，期望相位θd, i(ω)与设计相位之间的误差差值可以表示为：

$$
e_i \left( \omega\right) = \theta_{d,i} \left( \omega\right)-\theta_i \left( \omega\right);
= \theta_{d,i} \left( \omega\right) + 2N_i\omega-2 \tan^{-1} \left(\frac{\sum_{n=1}^{N_i} a_i \left( n\right) \sin \left(2 n\omega \right)}{1 + \sum_{n=1}^{N_i} a_i \left( n\right) \cos \left(2 n\omega \right)} \right); i = 1, 2: \tag{14}
$$

显然，直接最小化相位误差会产生一个高度非线性函数，且无法保证滤波器系数的收敛。

为了克服这一障碍，一些文献30,35,37,38假设当所提出的算法趋向于达到期望的相位时， θi(ω) ≈ θd, i(ω)，以简化设计流程。因此，(8) 可重写为

$$
\tan \left(\frac{\theta_{d,i} \left( \omega\right) + 2N_i\omega}{2}\right) = \frac{\sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega\right) \right)}{\cos \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega\right) \right)} \approx \frac{\sum_{n=1}^{N_i} a_i \left( n\right) \sin \left(2n\omega \right)}{1 + \sum_{n=1}^{N_i} a_i \left( n\right) \cos \left(2n\omega \right)}; i = 1, 2 \tag{15}
$$

其中 ϑd, i(ω) =(θd, i(ω) + 2 Niω)/2，i = 1，2。利用三角恒等式，(15) 可进一步简化为

$$
\sum_{n=1}^{N_i} a_i \left( n\right) \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega\right)-2n\omega \right) \approx -\sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega\right) \right): \tag{16}
$$

为了利用最小二乘逼近求解超定线性方程组的全通滤波器系数，可以建立如下二次误差函数：

$$
E_i = \sum_{l=1}^{L_i} \left(a_i^T s_i \left( \omega_l\right)+ \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)\right) \right)^2 = a^T_i \sum_{l=1}^{L_i} s_i \left( \omega_l\right) s_i^T \left( \omega_l\right) a_i + 2a^T_i \sum_{l=1}^{L_i} \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)\right) s_i \left( \omega_l\right)+\sum_{l=1}^{L_i} \sin^2 \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)\right) \tag{17}
$$

其中，Li 是期望频带上的采样网格

$$
a_i = \left[ a_i \left( 1\right) a_i \left( 2\right) \cdots a_i \left(N_i\right) \right]^T \tag{18}
$$

$$
s_i \left( \omega_l\right) = \left[ \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)-2\omega_l \right) \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)-4\omega_l \right) \cdots \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)-2N_i\omega_l \right) \right]^T: \tag{19}
$$

全通滤波器系数 ai(n)，其中 n = 1，2， ⋯，Ni，i = 1，2，可通过微分二次函数得到。因此，可直接获得线性方程组 Qiai= di，i = 1，2，其中

$$
Q_i = \sum_{l=1}^{L_i} s_i \left( \omega_l\right) s_i^T \left( \omega_l\right); \tag{20}
$$

$$
d_i = -\sum_{l=1}^{L_i} s_i \left( \omega_l\right) \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)\right): \tag{21}
$$

已经研究了多种方法来求解线性方程组。30,35,37,38在本文中，利用霍普菲尔德神经网络基于动态方程实现最优解。

3.2 | 李雅普诺夫能量函数优化

霍普菲尔德神经网络49-52由于具有多种优势，在解决复杂优化问题方面展现出强大的潜力。霍普菲尔德神经网络中第m个神经元的状态动态由非线性微分方程表征，

$$
\frac{du_m}{dt} = - \frac{u_m}{\tau_m} + \sum_{n=1}^{p} T_{mn}v_n + I_m; \tag{22}
$$

其中 τm是与输入电容和电阻相关的时间常数，p为神经元数量，Im为外部输入，Tmn为互连强度。一般情况下，控制输出状态vm与内部状态um之间关系的S形函数g(um)，其斜率为 λ，表达式如下：

$$
v_m = g \left( u_m\right) = \frac{1}{1 + e^{-u_m /\lambda}}: \tag{23}
$$

该神经网络由于具有大规模规则互连的神经元结构，因此可利用模拟超大规模集成电路技术46,50轻松实现。如果待最小化的目标函数能够映射为如下所示的李雅普诺夫能量函数，则霍普菲尔德神经网络可以提供一个理想的解：

$$
E_L = - \frac{1}{2} \sum_{m=1}^{p} \sum_{n=1}^{p} T_{mn} v_m v_n - \sum_{m=1}^{p} I_m v_m + \sum_{m=1}^{p} \frac{1}{\tau_m} \int_{0}^{v_m} g^{-1} \left( v\right) dv: \tag{24}
$$

如果等式右侧的第三项不影响优化性能，则可以忽略(22)中的相应项−um/τm ，以提高收敛速度。44,46,52

3.3 | 链接 霍普菲尔德神经网络和基于IIR全通的QMF滤波器组设计

为了将基于IIR全通的QMF滤波器组的最小二乘设计与李雅普诺夫能量函数联系起来，(17) 可以展开为

$$
E_i = \sum_{l=1}^{L_i} \sum_{m=1}^{N_i}\sum_{n=1}^{N_i} a_i \left( m\right) a_i \left( n\right) \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)-2m\omega_l \right) \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)-2n\omega_l \right) + 2\sum_{l=1}^{L_i} \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right) \right)\sum_{m=1}^{N_i} a_i \left( m\right) \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)-2m\omega_l \right) +\sum_{l=1}^{L_i} \sin^2 \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right) \right) = \sum_{m=1}^{N_i}\sum_{n=1}^{N_i} a_i \left( m\right) a_i \left( n\right) \sum_{l=1}^{L_i} \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)-2m\omega_l \right) \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)-2n\omega_l \right) + \sum_{m=1}^{N_i} a_i \left( m\right) \sum_{l=1}^{L_i} 2 \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right) \right) \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)-2m\omega_l \right) +\sum_{l=1}^{L_i} \sin^2 \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right) \right): \tag{25}
$$

显然，常数项 $\sum_{l=1}^{L_i} \sin^2 \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right) \right)$可以忽略，因为它与全通滤波器系数无关。因此，基于IIR全通的QMF滤波器组的最小二乘设计相关的Hopfield参数可推导为

$$
T_{i,mn} = -\sum_{l=1}^{L_i} \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)-2m\omega_l \right) \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)-2n\omega_l \right): \tag{26}
$$

表1	相关矩阵计算需求比较
矩阵 or 向量操作	算法
	本文提出
Qi	加法
	乘法
	三角学
Ki	加法
	乘法
	三角学
Hi	加法
	乘法
	三角学
di	加法
	乘法
	三角学
必需	Ti = −Qi
矩阵	Ii = di
总计加法	9LiNi −3Li −3Ni ＋ 1
乘法	9LiNi − 2Li
三角学	5LiNi − Li
滤波器系数	Δai = Ti ai + Ii
复杂度	O(N²)

K i 是托普利茨矩阵，H i 是汉克尔矩阵， λ min 是Q i 变体对应的最小特征值，L i = lNi ，l = 3~10，i = 1，2。

3.3 | 链接 霍普菲尔德神经网络和基于IIR全通的QMF滤波器组设计（续）

$$
I_{i,m} = -\sum_{l=1}^{L_i} \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)\right) \sin \left(\vartheta_{d,i} \left( \omega_l\right)-2m\omega_l \right); \tag{27}
$$

其中 $1 \leq m, n \leq N_i$ 且 $p_i = N_i$，其中 $i = 1,2$ 是实现 QMF 滤波器组设计所需的神经元数量。全通滤波器系数 $a_i(m)$ 对应于霍普菲尔德神经网络的输出状态 $v_{i,m}$，即 $a_i(m) = v_{i,m}$，对于 $1 \leq m \leq N_i$。显然，$T_{i,mn}$ 是一个实对称正定矩阵；因此，需要计算 $N_i(N_i+ 1)/2$ 个不同的元素。表1比较了不同算法在相关矩阵上所需的计算量。利用三角恒等式，互连强度 $T_{i,mn}$ 可展开为托普利茨加汉克尔矩阵形式。26,30 因此，需要计算并存储互连强度中的 $3N_i - 1$ 个不同元素（分别为托普利茨矩阵和汉克尔矩阵所需的 $N_i$ 和 $2N_i - 1$ 个不同元素）。显然，利用托普利茨加汉克尔矩阵的性质可以显著降低计算复杂度，相较于仅使用对称性质而言。进一步采用频率采样法，26 与霍普菲尔德相关的强度可被明确推导。当所需矩阵确定后，本文提出的方法可实现复杂度为 $O(N^2)$ 的 IIR全通滤波器系数计算，而基于特征值和最小二乘法分别需要 $O(N^3)$ 的复杂度。

在应用霍普菲尔德神经网络实现基于IIR全通的QMF滤波器组的最小二乘设计时，需要2个网络来设计全通滤波器系数$a_1(n)$和$a_2(n)$。这两个网络的不同之处在于滤波器阶数（$N_1, N_2$）和期望相位响应（$\theta_{d,1}(\omega)$，$\theta_{d,2}(\omega)$），这些可以从霍普菲尔德相关参数中确定。

霍普菲尔德神经网络在(22)中的状态动态可以实现为

$$
\Delta u_{i,m} = \frac{\sum_{n=1}^{p_i} T_{i,mn}v_{i,n} + I_{i,m}}{\Delta t} \tag{28}
$$

其中 $\Delta t$ 足够小，且 $u_{i,m}/\tau_{i,m}$被忽略以提高收敛速度。44,46,52 因此，神经网络在第 $(t + 1)$ 次迭代时的输入状态 $u_{i,m}$ 由以下方程求得：

$$
u_{i,m}(t + 1) = u_{i,m}(t) + \Delta u_{i,m}; \quad \text{for } 1\leq m\leq p_i: \tag{29}
$$

一些文献44,46,50,51表明，具有非递减特性的神经元激活函数可用于状态动态。因此，任何非负斜率神经元（$dv_{i,m}/du_{i,m} \geq 0$ 对于 $1 \leq m \leq p_i$）均可确保网络收敛至局部最小值。本文中，神经元激活通过一个软限幅器进行近似，如下所示

$$
v_{i,m}(t + 1) = g(u_{i,m}(t + 1)) =
\begin{cases}
c & \text{if } u_{i,m}(t + 1)\geq c\lambda \
\frac{u_{i,m}(t + 1)}{\lambda} & \text{if } -c\lambda < u_{i,m}(t + 1) < c\lambda \
-c & \text{if } u_{i,m}(t + 1)\leq -c\lambda
\end{cases} \tag{30}
$$

其中$c$决定动态范围，$\lambda$控制收敛速度。图3展示了应用于基于IIR全通的QMF滤波器组设计的霍普菲尔德神经网络。所提出的基于神经网络的技术的逐步设计流程在图4中进行了总结。

)

4 | 仿真结果与比较

本节使用MATLAB软件包实现了基于IIR全通滤波器的2通道线性相位QMF滤波器组的霍普菲尔德神经网络设计。为了评估本文提出的基于神经网络方法的设计性能，基于全通滤波器的QMF滤波器组设计设置了与现有方法相同的规格。同时设计了两个具有不同神经元数量和霍普菲尔德相关参数的神经网络，以获得IIR全通滤波器$a_1(n)$和$a_2(n)$。霍普菲尔德神经网络的初始状态设置为$u_{i,m}(0) = 10^{-4}, v_{i,m}(0) = 0$，以及 $\Delta t = 10^{-8}, 1 \leq m \leq N_i, i = 1, 2$。软限幅器的取值选为$c = 3$和 $\lambda= 400$。频率采样网格$L_i = 8(N_i + 1)$，$i = 1, 2$，在设计示例中设定于期望频带内。

为了评估不同方法的设计性能，采用$H_0(e^{j\omega})$的峰值阻带波纹(PSR)、相位响应最大变化量(MVPR)、群延迟最大变化量(MVGD)以及QMF滤波器组响应的最大变化量(MVFBR)作为指标

(MVFBR) 被用于比较评估。这些术语定义如下15,25,26：

$$
\mathrm{PSR} = 20 \log_{10} \max_{\omega\in [\omega_s;\pi]} \left| H_0 \left( e^{j\omega} \right) \right| \tag{31}
$$

$$
\mathrm{MVPR} = \max_{\omega\in [0;\pi]} \left| \mathrm{Arg} \left( M \left( e^{j\omega} \right) \right) + (2N_0 + 2N_1 + 1)\omega \right| \tag{32}
$$

$$
\mathrm{MVGD} = \max_{\omega\in [0;\pi]} \left| \mathrm{GD} \left( M \left( e^{j\omega} \right) \right) - (2N_0 + 2N_1 + 1) \right| \tag{33}
$$

$$
\mathrm{MVFBR} = \max_{\omega\in [0;\pi]} \left| 20 \log_{10} \left| M \left( e^{j\omega} \right) - \frac{1}{2}e^{-j(2N_0+2N_1+1)\omega} \right| \right| \tag{34}
$$

其中，$\mathrm{Arg}(\cdot)$ 和 $\mathrm{GD}(\cdot)$ 分别表示相位响应和群延迟响应。

示例1 ：设计了相同阶数为$N_1= N_2= 2$（情况1）的IIR全通滤波器$A_1(z^2)$和$A_2(z^2)$，以满足具有通带和阻带边缘频率分别为 $\omega_p= 0.4\pi$和 $\omega_s= 0.6\pi$的低通分析滤波器$H_0(z)$。两个霍普菲尔德神经网络（如图3所示）运行 5μs以逼近动态状态$v_{1,n}$和$v_{2,n}$的收敛，它们分别对应全通滤波器系数$a_1(n)$和$a_2(n)$。图5展示了由本文提出的基于神经网络的方法、劳森方法和李和杨方法设计的结果。显然，所设计的分析滤波器的幅值响应实现了良好的低通和高通特性，如图5A所示。本文提出的方法比其他方法获得了更优异的阻带衰减。图5B,C描绘了

本文提出的基于神经网络的方法相比其他方法具有更小的相位误差和群延迟误差响应。所设计的QMF滤波器组的幅值误差响应优于其他方法，这一点可以从图5D中看出。表2列出了使用各种技术设计的IIR全通滤波器系数。在该表中，还包含了一种有效的加权最小二乘算法，该算法利用托普利茨加汉克尔矩阵进行IIR全通滤波器的设计。

表2	示例1的IIR全通滤波器系数设计
$a_1(n)$
n	本文提出
0	1.00000000000000
1	−0.22275012748626
2	0.10285224508044
$a_2(n)$
n	本文提出
0	1.00000000000000
1	0.23053244219645
2	−0.06203533601293

对比结果表明，本文提出的霍普菲尔德神经网络得到的滤波器系数与现有方法的系数非常接近。由于设计精度与 Jou等人26和Kidambi30的方法相比无法区分，因此在图5中忽略了这些方法26,30的结果曲线。

示例2 ：设计了阶数分别为$N_1= 3$和$N_2= 2$（情况2）的IIR全通滤波器$A_1(z^2)$和$A_2(z^2)$，以满足具有通带和阻带边缘频率分别为 $\omega_p = 0.4\pi$和 $\omega_s= 0.6\pi$的低通分析滤波器$H_0(z)$。本文提出的基于神经网络的方法在阻带衰减方面优于Lee和Yang的方法15，但在精度上略低于其他方法12。图6A展示了所设计滤波器的幅值响应

低通和高通分析滤波器。从图6B、C可以看出，本文提出的基于神经网络的方法在相位和群延迟响应方面优于劳森和克鲁切‐杰迪德12以及李和杨15的方法。图6D展示了QMF滤波器组的幅值误差响应比较。显然，在大多数频率频段内，本文提出的方法所产生的幅值误差响应小于劳森和克鲁切‐杰迪德方法12以及李和杨方法15的结果。本文提出的基于神经网络的方法几乎达到了相同的结果

表3	示例2的IIR全通滤波器系数设计
$a_1(n)$
n	本文提出
0	1.00000000000000
1	0.23514357134253
2	−0.06944063991209
3	0.02504743245405
$a_2(n)$
n	本文提出
0	1.00000000000000
1	−0.22275012748626
2	0.10285224508044

与Jou等人26和Kidambi的方法30相比。使用多种方法设计的IIR全通滤波器系数12,15,26,30如表3所示。

值得注意的是，劳森算法中的显式公式11,12得到的IIR全通滤波器系数符号相反，即$a_2(n) = -a_1(n)$，$1 \leq n \leq N_i$，$i = 1,2$。$A_0(z^2)$与$A_1(z^2)$之间的关系限制了设计的灵活性和可达到的精度。因此，劳森算法的设计结果导致了较大的相位误差和幅值误差响应，如图5和图6所示。

采用不同技术得到的主要设计结果总结于表4中。显然，MVGD和MVPR的值优于其他方法，并且接近特征滤波器方法。PSR和MVFBR的值优于或可与劳森方法相媲美。本文提出的基于神经网络的方法精确达到了与Jou等人以及Kidambi方法相同的性能。这一点可以通过表2和表3看出：本文提出的基于神经网络的方法、Jou等人和 Kidambi方法所设计的IIR全通滤波器系数高度一致。仿真结果验证了本文提出的基于神经网络的方法在相位和群延迟响应方面均优于其他方法。本文提出的方法在精度上几乎与基于特征滤波器的方法相当。因此，霍普菲尔德神经网络能够以高性能和大规模并行性准确设计基于IIR全通的QMF滤波器组。

在设计完IIR全通滤波器后，可利用式(3)和(4)实现低通和高通分析滤波器，从而构成2通道QMF滤波器组的基本结构单元。进一步结合树状结构方法或余弦调制滤波器组5，本文提出的技术可轻松应用于多通道滤波器组的设计。

5 | 结论

本工作扩展了一种用于设计基于IIR全通滤波器的2通道线性相位正交镜像滤波器组的反馈神经网络简化方法。仿真结果验证了所提出的基于神经网络的技术能够在并行结构中实现令人满意的相位和群延迟响应性能，且不产生幅度失真。通过适当选择Hopfield相关参数，可通过动态非线性方程获得IIR全通滤波器系数。当神经网络达到收敛时，其输出状态接近最优的IIR全通滤波器。进一步利用设计的IIR全通滤波器的并行组合，可实现2通道正交镜像滤波器组的完全重构。本文提出的技术可方便地应用于采用树状结构或余弦调制方法的多通道滤波器组设计。

TABLE 4	不同方法的设计性能比较
示例	算法
$N_1 = 2$, $N_2 = 2$
劳森11
Lee and Yang15
Chen et al25
Jou et al26
Kidambi30
Tkacenko et al32
本文提出
$N_1 = 3$, $N_2 = 2$
劳森和克鲁切‐杰迪德12
Lee和Yang15
Chen等25
Jou 等人26
Kidambi30
Tkacenko et al32
本文提出