14、降维技术全解析

降维技术全解析

在数据分析和机器学习领域，降维是一项至关重要的技术，它能够帮助我们处理高维数据，降低计算复杂度，同时保留数据的关键信息。本文将深入探讨几种常见的降维方法，包括因子分析、奇异值分解与矩阵分解、多维尺度分析以及线性判别分析。

1. 因子分析（Factor Analysis）

因子分析的核心思想是，因子是独立的单位法线，通过拉伸、旋转和平移来构成输入。在因子分析中，我们关注的是变量与因子之间的相关性，用载荷（loadings）来表示。

假设我们有协方差矩阵 $\Sigma$ 的估计值 $S$，我们希望找到载荷矩阵 $V$ 和特定方差矩阵 $\Psi$，使得 $S = VV^T + \Psi$。如果因子数量较少，即 $V$ 的列数较少，那么 $S$ 的结构会变得更简单，参数数量从 $d^2$ 减少到 $d \cdot k + d$。

当 $\Psi$ 为对角矩阵时，协方差由 $V$ 表示。需要注意的是，主成分分析（PCA）不允许单独的 $\Psi$，它试图同时解释协方差和方差。当所有 $\psi_i$ 相等，即 $\Psi = \psi I$ 时，我们得到概率主成分分析（probabilistic PCA）；当 $\psi_i$ 为 0 时，就是传统的主成分分析。

1.1 计算因子载荷和特定方差

为了找到因子载荷和特定方差，我们可以先忽略 $\Psi$。通过谱分解，我们有 $S = CDC^T = CD^{1/2}D^{1/2}C^T = (CD^{1/2})(CD^{1/2})^T$，其中 $C$ 是 $d \times k$ 的特征向量矩阵，$D^{1/2}$ 是 $k \times k$ 的对角矩阵，其