24、数据降维技术全解析

数据降维技术全解析

1. 引言

在处理大规模数据集或具有大量特征的数据时，预测模型的训练会面临计算难题。为解决这一问题，数据降维技术应运而生，其目的是减少数据点数量或特征数量，使预测学习方法能适应更大的数据集。本文将详细介绍几种常见的数据降维技术，包括随机子采样、K-means聚类和主成分分析（PCA）。

2. 数据维度降低技术

2.1 随机子采样

随机子采样是一种简单直观的数据降维方法，常用于处理因数据集过大而超出计算资源的情况。具体操作是从包含 $P$ 个点的数据集中随机选取 $S$ 个点（$S < P$）作为子样本。需要注意的是，$S$ 取值越小，丢失数据集重要结构特征的风险就越大，例如两类数据之间的分离边界几何特征。虽然没有固定公式确定 $S$ 的大小，但实际操作中，应在计算资源允许的范围内尽量选择较大的 $S$ 值，以降低这种风险。

2.2 K-means聚类

K-means聚类通过为数据点的簇（或组）找到合适的代表点（质心）来降低数据维度。每个簇的所有成员都由该簇的质心代表，因此聚类问题就是将数据划分为具有相似特征的点簇，在K-means中，这种相似性表现为特征空间中的几何接近性。

以下是K-means聚类的详细步骤：
1. 数学表达 ：
- 设 $c_k$ 为第 $k$ 个簇的质心，$S_k$ 为属于该簇的 $P$ 个数据点 $x_1, \cdots, x_P$ 的索引子集。则第 $k$ 个簇中的点应接近其质心的数学表达式为：
- 对于所有 $p \in S_k$，$c_k \approx x_p$ ，