50、变分法与相关概念解析

变分法与相关概念解析

1. 变分法引语

理查德·费曼回忆高中时，物理老师巴德先生在课后叫住他，说“你看起来很无聊，我想告诉你一些有趣的事情”。从那之后，费曼就对老师讲的事情着迷，每次遇到相关主题都会深入研究。

2. 泛函与变分

2.1 泛函示例

• 示例1 ：设 (f \in F := C^1(A \subset R, B \subset R))，考虑 (L_1(f) = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (y’(x))^2}dx)，其中 (\forall x \in A)，(y(x) = f(x))。(L_1) 是一个泛函，作用于 (f) 所属的泛函空间 (F)。人们可能会关心 (L_1(f)) 在 (F((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = {f \in F : y(x_1) = y_1, y(x_2) = y_2}) 中何时取得最小值。
• 示例2 ：考虑从 (P_1 = (x_1, y_1)) 沿曲线 (y(x) = f(x)) 下滑到 (P_2 = (x_2, y_2))（(y_1 > y_2)）的时间最小化问题。此时 (L_2(f) = \frac{1}{\sqrt{2g}} \int_{x_1}^{x_2} \frac{\sqrt{1 + (y’(x))^2}}{\sqrt{y_1 - y(x)}} dx)，这就是最速降线问题。
• 示例3 ：考虑 (L_3(f) = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + y’(x)^2