27、布尔函数的实现：从基础到深度网络

布尔函数的实现：从基础到深度网络

1. 布尔函数实现的基础与重要性

对经典与或布尔电路的理解，为捕捉前馈神经网络的结构提供了重要见解。传统的开关理论设计方法可用于揭示基于线性阈值单元（LTU）的实现，尽管从电路复杂度的角度来看，类似的实现通常远非最优解。

1.1 布尔函数的真值表表示

对于二维布尔函数 (f(x, y))，假设 (1) 对应真（T），(0) 对应假（F），则 (f(0, 0)f(0, 1)f(1, 0)f(1, 1)) 构成该布尔函数的真值表。例如，与（AND）函数的真值表是 (0001)，或（OR）函数的真值表是 (0111)。对于 (n) 变量的布尔函数 (f(x_1, x_2, \ldots, x_n))，其真值表是 (2^n) 个数的序列 (f(0, 0, \ldots, 0, 0)f(0, 0, \ldots, 0, 1)f(0, 0, \ldots, 1, 0) \ldots f(1, 1, \ldots, 1))。

1.2 与、或、异或函数的 LTU 实现

• 与函数（AND） ：我们希望通过 (x_1 \land x_2 = [w_1x_1 + w_2x_2 + b \geq 0]) 来实现真值表 (0001)。设 (W_{\land}) 是 (R^3) 中向量 ((w_1, w_2, b)’) 的集合，满足 ((b < 0) \land (w_2 + b < 0) \land (w_1 + b < 0) \land (w_1 + w_2 + b > 0))。例如，((w_1, w_2, b) = (1, 1, -\frac{3}